数学C 空間ベクトル 問題 140 解説

方針・初手

$O,A,B,C$ が同一平面上にないので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。したがって、これらを基底として空間内の点を座標表示する。

$L,M,N$ はそれぞれ $OA,OB,OC$ 上にあるので、平面 $LMN$ は切片形で表せる。条件

$$ \frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}=4 $$

を、平面 $LMN$ が常に通る点を決める条件として読む。

解法1

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を基底として、点 $X$ を

$$ \overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} $$

と表す。

この座標では

$$ L=(s,0,0),\quad M=(0,t,0),\quad N=(0,0,u) $$

である。$s,t,u$ はいずれも $0$ でないから、平面 $LMN$ の方程式は

$$ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}+\frac{z}{u}=1 $$

である。

ここで

$$ a=\frac{1}{s},\quad b=\frac{1}{t},\quad c=\frac{1}{u} $$

とおくと、与えられた条件は

$$ a+2b+3c=4 $$

となる。また、点 $(x,y,z)$ が平面 $LMN$ 上にある条件は

$$ ax+by+cz=1 $$

である。

したがって、$a+2b+3c=4$ を満たすすべての $a,b,c$ に対して

$$ ax+by+cz=1 $$

が成り立つような点を求めればよい。

この式が $a,b,c$ のとり方によらず成り立つためには、$x,y,z$ が $1,2,3$ に比例していなければならない。そこで

$$ (x,y,z)=\lambda(1,2,3) $$

とおくと、

$$ ax+by+cz=\lambda(a+2b+3c)=4\lambda $$

である。これが常に $1$ となるから

$$ 4\lambda=1 $$

より

$$ \lambda=\frac{1}{4} $$

である。

よって、平面 $LMN$ は常に点 $P$ を通り、その点は

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} $$

で与えられる。

次に、このような点 $P$ がただ一つであることを示す。

点 $Q$ も同じ性質をもち、

$$ \overrightarrow{OQ} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC} $$

とする。このとき、任意の $a,b,c$ で

$$ a+2b+3c=4 $$

を満たすものに対して

$$ ax+by+cz=1 $$

が成り立つ。

特に、$a$ を自由に動かすと、それに応じて $b,c$ も条件を保つように動かせる。したがって、$ax+by+cz$ が条件平面 $a+2b+3c=4$ 上で一定になるには、係数ベクトル $(x,y,z)$ が $(1,2,3)$ に比例する必要がある。

ゆえに

$$ (x,y,z)=\lambda(1,2,3) $$

であり、さらに

$$ 1=ax+by+cz=\lambda(a+2b+3c)=4\lambda $$

より

$$ \lambda=\frac{1}{4} $$

である。したがって $Q=P$ となり、このような点 $P$ はただ一つに定まる。

続いて、四面体 $PABC$ の体積を求める。

点 $P$ は

$$ P=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right) $$

である。$OABC$ の体積を $V$ とすると、$PABC$ の体積は、基底 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ に関する行列式の絶対値の比で求められる。

一般に

$$ P=xA+yB+zC $$

と表されるとき、四面体 $PABC$ と四面体 $OABC$ の体積比は

$$ |1-x-y-z| $$

である。実際、$P$ から平面 $ABC$ までの符号付き距離は、$O$ から平面 $ABC$ までの符号付き距離の $1-x-y-z$ 倍になる。

ここでは

$$ \begin{aligned} x+y+z &= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ |1-x-y-z| = \left|1-\frac{3}{2}\right| \frac{1}{2} $$

である。

よって、四面体 $PABC$ の体積は

$$ \frac{1}{2}V $$

である。

解説

この問題の中心は、$L,M,N$ がそれぞれ座標軸上の切片を与えていると見ることである。平面 $LMN$ は

$$ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}+\frac{z}{u}=1 $$

という切片形で表される。

条件

$$ \frac{1}{s}+\frac{2}{t}+\frac{3}{u}=4 $$

は、$\frac{1}{s},\frac{1}{t},\frac{1}{u}$ の間の一次関係である。したがって、平面 $LMN$ が常に通る固定点は、この一次関係の係数 $(1,2,3)$ から決まる。

体積については、$P$ の係数の和

$$ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4} $$

が $1$ を超えているため、$P$ は平面 $ABC$ をはさんで $O$ と反対側にある。そのため、体積比は符号付き比ではなく絶対値をとって $\frac{1}{2}$ となる。

答え

(1)

平面 $LMN$ は、$s,t,u$ によらず一定の点 $P$ を通る。その点は

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} $$

であり、このような点 $P$ はただ一つである。

(2)

四面体 $PABC$ の体積は

$$ \frac{V}{2} $$

である。