数学C 球面の方程式 問題 1 解説

方針・初手

任意の球面の中心を $(x,y,z)$、半径を $\rho$ とおく。$S_1,S_2$ に外接するという条件は、それぞれの中心間距離が $\rho+1$ であることを意味する。

まずこの2つの距離条件を引き算し、中心の $z$ 座標を決める。次に、その結果を用いて $S_3$ への内接条件を式にする。

解法1

求める球面の中心を $(x,y,z)$、半径を $\rho$ とする。

$S_1$ の中心は $(0,0,2)$、半径は $1$ であるから、$S_1$ に外接する条件は

$$ x^2+y^2+(z-2)^2=(\rho+1)^2 $$

である。

また、$S_2$ の中心は $(0,0,-2)$、半径は $1$ であるから、$S_2$ に外接する条件は

$$ x^2+y^2+(z+2)^2=(\rho+1)^2 $$

である。

この2式の右辺は等しいので、左辺を等しいとおくと

$$ x^2+y^2+(z-2)^2=x^2+y^2+(z+2)^2 $$

となる。整理すると

$$ (z-2)^2=(z+2)^2 $$

であり、

$$ z^2-4z+4=z^2+4z+4 $$

より

$$ z=0 $$

である。

したがって、$S_1,S_2$ に外接する球面の中心は $xy$ 平面上にある。

次に、その中心を $(p,q,0)$ とする。$S_1$ に外接する条件より

$$ \rho+1=\sqrt{p^2+q^2+4} $$

であるから、

$$ \rho=\sqrt{p^2+q^2+4}-1 $$

である。

この球面が $S_3$ に内接するので、中心 $(p,q,0)$ と $S_3$ の中心 $(2,0,0)$ との距離に半径 $\rho$ を加えたものが $S_3$ の半径 $3$ に等しい。したがって

$$ \sqrt{(p-2)^2+q^2}+\rho=3 $$

である。

ここに $\rho=\sqrt{p^2+q^2+4}-1$ を代入すると

$$ \sqrt{(p-2)^2+q^2}+\sqrt{p^2+q^2+4}=4 $$

を得る。

ここで

$$ \sqrt{(p-2)^2+q^2}=4-\sqrt{p^2+q^2+4} $$

とおき、両辺を2乗する。

$$ (p-2)^2+q^2=16-8\sqrt{p^2+q^2+4}+p^2+q^2+4 $$

整理すると

$$ -4p+4=20-8\sqrt{p^2+q^2+4} $$

より

$$ 8\sqrt{p^2+q^2+4}=16+4p $$

である。したがって

$$ \sqrt{p^2+q^2+4}=2+\frac{p}{2} $$

となる。

両辺を2乗して

$$ p^2+q^2+4=\left(2+\frac{p}{2}\right)^2 $$

すなわち

$$ p^2+q^2+4=4+2p+\frac{p^2}{4} $$

である。よって

$$ \frac{3}{4}p^2-2p+q^2=0 $$

となり、両辺を4倍して

$$ 3p^2-8p+4q^2=0 $$

を得る。

平方完成すると

$$ 3\left(p-\frac{4}{3}\right)^2+4q^2=\frac{16}{3} $$

である。したがって

$$ \frac{\left(p-\frac{4}{3}\right)^2}{\frac{16}{9}}+\frac{q^2}{\frac{4}{3}}=1 $$

となる。

これは中心 $\left(\frac{4}{3},0\right)$ の楕円である。$p$ 軸方向の半径は $\frac{4}{3}$、$q$ 軸方向の半径は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ である。

よって概形は、$p$ 軸上の端点が

$$ (0,0),\quad \left(\frac{8}{3},0\right) $$

であり、$q$ 軸方向の上下の端点が

$$ \left(\frac{4}{3},\frac{2}{\sqrt{3}}\right),\quad \left(\frac{4}{3},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) $$

であるような楕円である。

解説

$S_1$ と $S_2$ は $z$ 軸上で対称な位置にあり、半径も等しい。そのため、両方に外接する球面の中心は、2つの中心から等距離にある点に限られる。2点 $(0,0,2)$、$(0,0,-2)$ から等距離にある点全体は $xy$ 平面である。

後半では、外接条件から半径 $\rho$ を中心座標 $(p,q)$ で表し、$S_3$ に内接する条件を立てることが重要である。得られる式は平方根を含むが、片方を移項して2乗すれば楕円の方程式に帰着する。

答え

(1)

$S_1,S_2$ に外接する球面の中心を $(x,y,z)$ とすると、外接条件から

$$ x^2+y^2+(z-2)^2=x^2+y^2+(z+2)^2 $$

となるので、$z=0$ である。したがって中心は $xy$ 平面上にある。

(2)

点 $(p,q)$ の軌跡は

$$ 3p^2-8p+4q^2=0 $$

すなわち

$$ \frac{\left(p-\frac{4}{3}\right)^2}{\frac{16}{9}}+\frac{q^2}{\frac{4}{3}}=1 $$

である。

これは中心 $\left(\frac{4}{3},0\right)$、$p$ 軸方向の半径 $\frac{4}{3}$、$q$ 軸方向の半径 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ の楕円である。