数学C 球面の方程式 問題 2 解説

方針・初手

直線 $PA$ と球面の交点 $Q$ を、直線上の媒介変数で表す。次に、直線 $QB$ が $xy$ 平面、すなわち $z=0$ と交わる条件から $R(u,v,0)$ を求める。

得られる対応は、$xy$ 平面上で

$$ (u,v)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right) $$

という反転になっている。したがって、(2)ではこの式を $x,y$ について逆に表し、条件 $x+y=1$ に代入すればよい。

解法1

$P(x,y,0)$ は原点と異なるので、

$$ x^2+y^2>0 $$

である。ここで

$$ s=x^2+y^2 $$

とおく。

直線 $PA$ 上の点を、$A(0,0,1)$ から $P(x,y,0)$ へ向かう媒介変数 $t$ を用いて

$$ (X,Y,Z)=(tx,ty,1-t) $$

と表す。この点が球面 $S:x^2+y^2+z^2=1$ 上にある条件は

$$ (tx)^2+(ty)^2+(1-t)^2=1 $$

である。これを整理すると

$$ t^2(x^2+y^2)+(1-2t+t^2)=1 $$

より、

$$ t^2(s+1)-2t=0 $$

すなわち

$$ t{t(s+1)-2}=0 $$

である。

$t=0$ は点 $A$ を表す。したがって、$A$ と異なる交点 $Q$ に対応する値は

$$ t=\frac{2}{s+1} $$

である。よって

$$ Q\left(\frac{2x}{s+1},\frac{2y}{s+1},1-\frac{2}{s+1}\right) $$

すなわち

$$ Q\left(\frac{2x}{s+1},\frac{2y}{s+1},\frac{s-1}{s+1}\right) $$

である。

次に、直線 $QB$ を考える。点 $B(0,0,-1)$ から点 $Q$ へ向かう媒介変数 $\lambda$ を用いて、直線 $BQ$ 上の点を

$$ (X,Y,Z)=B+\lambda(Q-B) $$

と表す。

このとき、$Q-B$ の $z$ 成分は

$$ \frac{s-1}{s+1}-(-1)=\frac{s-1}{s+1}+1=\frac{2s}{s+1} $$

であるから、$z$ 座標は

$$ Z=-1+\lambda\frac{2s}{s+1} $$

である。

点 $R$ は $xy$ 平面上にあるので、$Z=0$ とおくと

$$ -1+\lambda\frac{2s}{s+1}=0 $$

より

$$ \lambda=\frac{s+1}{2s} $$

である。

したがって、$R$ の $x,y$ 座標は

$$ u=\lambda\frac{2x}{s+1} =\frac{s+1}{2s}\cdot\frac{2x}{s+1} =\frac{x}{s} $$

および

$$ v=\lambda\frac{2y}{s+1} =\frac{s+1}{2s}\cdot\frac{2y}{s+1} =\frac{y}{s} $$

である。ゆえに

$$ u=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad v=\frac{y}{x^2+y^2} $$

である。

次に、$P$ が $xy$ 平面上の直線

$$ x+y=1 $$

の上を動くときを考える。

(1)より

$$ u=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad v=\frac{y}{x^2+y^2} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} u^2+v^2 &= \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\\ &= \frac{1}{x^2+y^2}\\ &= \frac{1}{s} \end{aligned} $$

であるから、

$$ s=\frac{1}{u^2+v^2} $$

である。

また、

$$ x=us,\qquad y=vs $$

だから、

$$ x=\frac{u}{u^2+v^2},\qquad y=\frac{v}{u^2+v^2} $$

となる。

これを $x+y=1$ に代入すると

$$ \frac{u}{u^2+v^2}+\frac{v}{u^2+v^2}=1 $$

である。すなわち

$$ u+v=u^2+v^2 $$

となる。

整理して

$$ u^2+v^2-u-v=0 $$

である。平方完成すると

$$ \left(u-\frac12\right)^2+\left(v-\frac12\right)^2=\frac12 $$

となる。

ただし、$u=v=0$ はこの円上にあるが、$u=v=0$ なら

$$ \frac{x}{x^2+y^2}=0,\qquad \frac{y}{x^2+y^2}=0 $$

より $x=0,y=0$ となる。しかし $P$ は直線 $x+y=1$ 上にあるため、これは起こらない。

したがって、点 $R$ は

$$ \left(u-\frac12\right)^2+\left(v-\frac12\right)^2=\frac12 $$

で表される円のうち、原点を除いた部分を動く。

解説

この問題の本質は、球面上の点 $A,B$ を用いた射影により、$xy$ 平面上の点 $P(x,y,0)$ が

$$ R\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2},0\right) $$

へ移ることを見抜く点にある。

この対応は、平面上の反転に相当する。原点を通らない直線 $x+y=1$ は、反転によって原点を通る円に移る。ただし、反転では原点そのものは有限の点からは得られないため、軌跡から原点を除く必要がある。

特に、最後に得られる円

$$ \left(u-\frac12\right)^2+\left(v-\frac12\right)^2=\frac12 $$

は原点を通るが、点 $R$ が実際に原点になることはない。この除外条件を落とさないことが重要である。

答え

(1)

$$ u=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad v=\frac{y}{x^2+y^2} $$

(2)

点 $R$ は、$uv$ 平面上で

$$ \left(u-\frac12\right)^2+\left(v-\frac12\right)^2=\frac12 $$

で表される円のうち、原点 $(0,0)$ を除いた部分を描く。