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数学C 球面の方程式問題 7 解説

方針・初手

4点を同時に通る球面を作るには、4点から等距離にある点を見つければよい。その点を球の中心とすればよい。

四面体であるから、3本のベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ は一次独立である。この一次独立性を使って、中心の存在を示す。

解法1

点 $A$ を原点にとり、点 $B,C,D$ の位置ベクトルをそれぞれ $\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ とする。

四面体 $ABCD$ であるから、$\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ は一次独立である。

球面の中心を位置ベクトル $\mathbf{x}$ をもつ点 $O$ とする。点 $O$ が $A,B,C,D$ から等距離であるためには、

$$ |\mathbf{x}|=|\mathbf{x}-\mathbf{b}|=|\mathbf{x}-\mathbf{c}|=|\mathbf{x}-\mathbf{d}| $$

となればよい。

まず $|\mathbf{x}|=|\mathbf{x}-\mathbf{b}|$ より、

$$ |\mathbf{x}|^2=|\mathbf{x}-\mathbf{b}|^2 $$

である。右辺を展開すると、

$$ |\mathbf{x}-\mathbf{b}|^2 =|\mathbf{x}|^2-2\mathbf{x}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2 $$

だから、

$$ 2\mathbf{x}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{b}|^2 $$

すなわち

$$ \mathbf{x}\cdot\mathbf{b}=\frac{|\mathbf{b}|^2}{2} $$

を得る。

同様に、$|\mathbf{x}|=|\mathbf{x}-\mathbf{c}|$、$|\mathbf{x}|=|\mathbf{x}-\mathbf{d}|$ から、

$$ \mathbf{x}\cdot\mathbf{c}=\frac{|\mathbf{c}|^2}{2},\qquad \mathbf{x}\cdot\mathbf{d}=\frac{|\mathbf{d}|^2}{2} $$

を得る。

したがって、$\mathbf{x}$ は次の3本の一次方程式を満たせばよい。

$$ \begin{cases} \mathbf{x}\cdot\mathbf{b}=\dfrac{|\mathbf{b}|^2}{2},\\ \mathbf{x}\cdot\mathbf{c}=\dfrac{|\mathbf{c}|^2}{2},\\ \mathbf{x}\cdot\mathbf{d}=\dfrac{|\mathbf{d}|^2}{2}. \end{cases} $$

ここで $\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ は一次独立であるから、空間の基底をなす。よって、任意のベクトル $\mathbf{x}$ は

$$ \mathbf{x}=s\mathbf{b}+t\mathbf{c}+u\mathbf{d} $$

と一意に表される。

これを上の3式に代入すると、未知数 $s,t,u$ に関する3元連立一次方程式になる。その係数行列は

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{c}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{d}\cdot\mathbf{b}\\ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} & \mathbf{c}\cdot\mathbf{c} & \mathbf{d}\cdot\mathbf{c}\\ \mathbf{b}\cdot\mathbf{d} & \mathbf{c}\cdot\mathbf{d} & \mathbf{d}\cdot\mathbf{d} \end{pmatrix} $$

である。

この行列は、一次独立なベクトル $\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ のグラム行列である。一次独立なベクトルのグラム行列は正則であるから、この連立一次方程式はただ1つの解をもつ。

したがって、その解によって定まる点 $O$ が存在し、

$$ OA=OB=OC=OD $$

が成り立つ。

よって、中心を $O$、半径を $OA$ とする球面を考えれば、この球面は $A,B,C,D$ をすべて通る。

以上より、4つの頂点 $A,B,C,D$ を同時に通る球面が存在する。

解法2

点 $A$ と点 $B$ から等距離にある点全体は、線分 $AB$ の垂直二等分面である。これを $\Pi_B$ とする。

同様に、点 $A$ と点 $C$ から等距離にある点全体を $\Pi_C$、点 $A$ と点 $D$ から等距離にある点全体を $\Pi_D$ とする。

すなわち、

$$ \Pi_B:\ PA=PB,\qquad \Pi_C:\ PA=PC,\qquad \Pi_D:\ PA=PD $$

である。

この3つの平面 $\Pi_B,\Pi_C,\Pi_D$ の法線ベクトルは、それぞれ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ に平行である。

四面体 $ABCD$ であるから、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ は一次独立である。したがって、法線ベクトルが一次独立な3つの平面 $\Pi_B,\Pi_C,\Pi_D$ は、ただ1点で交わる。

その交点を $O$ とする。

$O$ は $\Pi_B$ 上にあるから、

$$ OA=OB $$

である。

また、$O$ は $\Pi_C$ 上にあるから、

$$ OA=OC $$

である。

さらに、$O$ は $\Pi_D$ 上にあるから、

$$ OA=OD $$

である。

したがって、

$$ OA=OB=OC=OD $$

が成り立つ。

よって、中心を $O$、半径を $OA$ とする球面は、4点 $A,B,C,D$ をすべて通る。

以上より、4つの頂点 $A,B,C,D$ を同時に通る球面が存在する。

解説

本質は「4点から等距離にある点」を作ることである。

平面上の三角形では、各辺の垂直二等分線の交点が外心になる。空間内の四面体では、線分 $AB,AC,AD$ の垂直二等分面の交点が外接球の中心になる。

四面体であることから、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ は一次独立である。この条件により、3つの垂直二等分面がただ1点で交わることが保証される。もし4点が同一平面上にある場合には、この議論はそのまま成立しないため、「四面体」という条件が重要である。