数学C 球面の方程式 問題 8 解説

方針・初手

点 $R$ を $R=(x,y,0)$ とおく。$R$ が動く範囲を求めるには、直線 $PR$ が球面 $S$ と交わるための条件を調べればよい。

つまり、点 $P(1,0,2)$ と点 $R(x,y,0)$ を通る直線が、球面

$$ X^2+Y^2+(Z-1)^2=1 $$

と共有点をもつ条件を判別式で求める。

解法1

点 $R=(x,y,0)$ とする。直線 $PR$ 上の点を、実数 $t$ を用いて

$$ (X,Y,Z)=(1,0,2)+t{(x,y,0)-(1,0,2)} $$

と表す。

したがって

$$ X=1+t(x-1),\quad Y=ty,\quad Z=2-2t $$

である。

この点が球面 $S$ 上にあるための条件は

$$ X^2+Y^2+(Z-1)^2=1 $$

であるから、代入して

$$ {1+t(x-1)}^2+(ty)^2+(1-2t)^2=1 $$

を得る。

整理すると

$$ \left\{(x-1)^2+y^2+4\right\}t^2+(2x-6)t+1=0 $$

である。

直線 $PR$ が球面 $S$ と交わるためには、この $t$ の2次方程式が実数解をもてばよい。よって判別式を $D$ とすると、

$$ D\geqq 0 $$

が必要十分条件である。

ここで

$$ \begin{aligned} D &=(2x-6)^2-4\left\{(x-1)^2+y^2+4\right\} \\ &=4\left\{(x-3)^2-(x-1)^2-y^2-4\right\} \\ &=4(4-4x-y^2) \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ 4(4-4x-y^2)\geqq 0 $$

より

$$ y^2+4x\leqq 4 $$

を得る。

これは

$$ y^2\leqq 4(1-x) $$

と書ける。

境界は放物線

$$ y^2=4(1-x) $$

であり、これは頂点が $(1,0)$、軸が $x$ 軸、左向きに開く放物線である。

よって $R$ の動く範囲は、平面 $z=0$ 上でこの放物線を含む左側の領域である。

なお、問題では $Q=(0,0,2)$ を除いている。この点と $P(1,0,2)$ を通る直線は $z=2$ 上の直線であり、平面 $z=0$ と交わらない。そのため $R$ は定まらず、除外条件と整合する。一方、上で得た有限の点 $R$ に対応する直線 $PR$ は $z=0$ と交わるので、この除外点によって上の領域から追加で取り除かれる点はない。

解説

この問題は、球面上の点を直接動かすよりも、先に平面 $z=0$ 上の点 $R=(x,y,0)$ を固定し、その点が実現可能かを判定する方が処理しやすい。

点 $R$ が実現できることは、直線 $PR$ が球面 $S$ と交わることと同値である。したがって、直線の媒介変数表示を球面の方程式に代入し、得られる2次方程式が実数解をもつ条件を調べればよい。

境界は直線 $PR$ が球面に接するときであり、その像が放物線

$$ y^2=4(1-x) $$

になる。内部側、すなわち $y^2<4(1-x)$ の点では直線が球面と2点で交わり、境界上では接する。

図示するときは、$xy$ 平面上に頂点 $(1,0)$、軸が $x$ 軸、左向きに開く放物線 $y^2=4(1-x)$ を描き、その放物線を含む左側の領域を塗ればよい。

答え

$$ \boxed{y^2+4x\leqq 4} $$

すなわち、平面 $z=0$ 上で

$$ \boxed{R=(x,y,0),\quad y^2\leqq 4(1-x)} $$

を満たす範囲である。

境界は放物線

$$ \boxed{y^2=4(1-x)} $$

であり、頂点 $(1,0)$、軸は $x$ 軸、左向きに開く。この放物線を含む左側の領域が $R$ の動く範囲である。