数学C 球面の方程式 問題 9 解説

方針・初手

$S_1$ と $S_2$ の共通部分 $C$ は、2つの球面の交線である円である。

したがって、$S_1$ との共通部分が同じ円 $C$ になる球面は、その中心が $S_1, S_2$ の中心を結ぶ直線上にあり、かつその円 $C$ を通る球面である。まず円 $C$ の中心と半径を求める。

解法1

$S_1, S_2$ の中心と半径をそれぞれ

$$ A=(1,1,1),\quad R_1=\sqrt{7} $$

$$ B=(2,3,3),\quad R_2=1 $$

とする。

中心間距離は

$$ AB=\sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2+(3-1)^2}=3 $$

である。

$C$ は $S_1$ と $S_2$ の交円であるから、その中心 $H$ は直線 $AB$ 上にある。$A$ から $H$ までの距離を $AH=d$ とすると、2球面の交円の性質より

$$ d=\frac{R_1^2-R_2^2+AB^2}{2AB} =\frac{7-1+9}{2\cdot 3} =\frac{5}{2} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{AB}=(1,2,2) $$

であり、$AB=3$ だから、

$$ \overrightarrow{AH} = \frac{5}{2}\cdot \frac{1}{3}(1,2,2) \left(\frac{5}{6},\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) $$

となる。よって

$$ H = (1,1,1)+\left(\frac{5}{6},\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) \left(\frac{11}{6},\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right) $$

である。

次に、交円 $C$ の半径を $\rho$ とする。$S_1$ の半径は $\sqrt{7}$ で、$AH=\dfrac{5}{2}$ だから、

$$ \begin{aligned} \rho^2 &= R_1^2-AH^2\\ &= 7-\left(\frac{5}{2}\right)^2\\ &= 7-\frac{25}{4}\\ &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$

より、

$$ \rho=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

$S_1$ との共通部分が $C$ となる球面の中心を $P$、半径を $r$ とする。この球面は円 $C$ を通るので、中心 $P$ は円 $C$ の平面に垂直な直線上、すなわち直線 $AB$ 上にある。

また、$P$ から円 $C$ の中心 $H$ までの距離を $PH=t$ とすれば、直角三角形より

$$ r^2=\rho^2+t^2 = \frac{3}{4}+t^2 $$

である。

したがって、半径 $r$ が最小となるのは $t=0$、すなわち中心が $H$ に一致するときである。このとき

$$ r=\rho=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

よって、半径が最小となる球面は

$$ \left(x-\frac{11}{6}\right)^2 + \left(y-\frac{8}{3}\right)^2 + \left(z-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{3}{4} $$

である。

次に、半径が $\sqrt{3}$ となる球面を求める。

このとき

$$ r^2=3 $$

であるから、

$$ 3=\frac{3}{4}+t^2 $$

より、

$$ t^2=\frac{9}{4} $$

となる。したがって

$$ t=\pm \frac{3}{2} $$

である。

直線 $AB$ 方向の単位ベクトルは

$$ \frac{1}{3}(1,2,2) $$

であるから、中心 $P$ は

$$ P = H \pm \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}(1,2,2) H \pm \left(\frac{1}{2},1,1\right) $$

である。

よって、2つの中心は

$$ \left(\frac{11}{6},\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right) + \left(\frac{1}{2},1,1\right) = \left(\frac{7}{3},\frac{11}{3},\frac{11}{3}\right) $$

および

$$ \begin{aligned} \left(\frac{11}{6},\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right) &= \left(\frac{1}{2},1,1\right) \\ \left(\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) \end{aligned} $$

である。

したがって、半径が $\sqrt{3}$ となる球面は

$$ \left(x-\frac{7}{3}\right)^2 + \left(y-\frac{11}{3}\right)^2 + \left(z-\frac{11}{3}\right)^2 = 3 $$

および

$$ \left(x-\frac{4}{3}\right)^2 + \left(y-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(z-\frac{5}{3}\right)^2 = 3 $$

である。

解説

2つの球面の共通部分は、一般に円になる。この円の中心は2つの球面の中心を結ぶ直線上にあり、円の平面はその直線に垂直である。

この問題では、$S_1$ との共通部分が同じ円 $C$ になる球面を考えるので、その球面の中心は必ず交円 $C$ の中心を通り、交円の平面に垂直な直線上にある。したがって、中心を円 $C$ の中心 $H$ からどれだけ離すかだけで球面が決まる。

半径は

$$ r^2=\rho^2+t^2 $$

で決まるため、最小半径は $t=0$ のときであり、半径 $\sqrt{3}$ の球面は $t=\pm \dfrac{3}{2}$ に対応する2つである。

答え

(1)

$$ \left(x-\frac{11}{6}\right)^2 + \left(y-\frac{8}{3}\right)^2 + \left(z-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{3}{4} $$

(2)

$$ \left(x-\frac{7}{3}\right)^2 + \left(y-\frac{11}{3}\right)^2 + \left(z-\frac{11}{3}\right)^2 = 3 $$

$$ \left(x-\frac{4}{3}\right)^2 + \left(y-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(z-\frac{5}{3}\right)^2 = 3 $$