数学C 楕円 問題 3 解説

方針・初手

直線とだ円の交点を求めるには、直線の式 $y=2x+k$ をだ円の方程式に代入し、$x$ についての2次方程式を作る。異なる2点で交わる条件は、この2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件、すなわち判別式が正であることに帰着される。

また、交点を結ぶ線分の長さは、2つの解 $x_1,x_2$ の差から求める。

解法1

直線 $y=2x+k$ をだ円 $4x^2+9y^2=36$ に代入すると、

$$ 4x^2+9(2x+k)^2=36 $$

である。これを整理する。

$$ \begin{aligned} 4x^2+9(4x^2+4kx+k^2)&=36 \\ 4x^2+36x^2+36kx+9k^2&=36 \\ 40x^2+36kx+9k^2-36&=0 \end{aligned} $$

したがって、交点の $x$ 座標は2次方程式

$$ 40x^2+36kx+9k^2-36=0 $$

の解である。

(1) 異なる2点で交わる条件

異なる2点で交わるためには、この2次方程式が異なる2つの実数解をもてばよい。よって判別式を $D$ とすると、

$$ D>0 $$

が必要十分である。

ここで、

$$ \begin{aligned} D&=(36k)^2-4\cdot 40(9k^2-36) \\ &=1296k^2-160(9k^2-36) \\ &=1296k^2-1440k^2+5760 \\ &=5760-144k^2 \\ &=144(40-k^2) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ 144(40-k^2)>0 $$

より、

$$ k^2<40 $$

すなわち、

$$ -2\sqrt{10}<k<2\sqrt{10} $$

である。

(2) 交点を結ぶ線分の長さが $4$ となる条件

2つの交点を $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ とする。どちらも直線 $y=2x+k$ 上にあるので、

$$ y_1=2x_1+k,\qquad y_2=2x_2+k $$

である。したがって、

$$ y_1-y_2=2(x_1-x_2) $$

となる。よって線分 $PQ$ の長さは、

$$ \begin{aligned} PQ&=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\ &=\sqrt{(x_1-x_2)^2+{2(x_1-x_2)}^2} \\ &=\sqrt{5},|x_1-x_2| \end{aligned} $$

である。

ここで、$x_1,x_2$ は

$$ 40x^2+36kx+9k^2-36=0 $$

の2つの解である。2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解の差は

$$ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|} $$

であるから、今回は $a=40$、$D=144(40-k^2)$ より、

$$ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{144(40-k^2)}}{40} =\frac{12\sqrt{40-k^2}}{40} =\frac{3\sqrt{40-k^2}}{10} $$

である。したがって、

$$ PQ=\sqrt{5}\cdot \frac{3\sqrt{40-k^2}}{10} =\frac{3\sqrt{5}}{10}\sqrt{40-k^2} $$

となる。

これが $4$ であるから、

$$ \frac{3\sqrt{5}}{10}\sqrt{40-k^2}=4 $$

両辺を2乗して、

$$ \frac{45}{100}(40-k^2)=16 $$

すなわち、

$$ \frac{9}{20}(40-k^2)=16 $$

である。よって、

$$ 40-k^2=\frac{320}{9} $$

となり、

$$ k^2=40-\frac{320}{9} =\frac{360-320}{9} =\frac{40}{9} $$

したがって、

$$ k=\pm \frac{2\sqrt{10}}{3} $$

である。

解説

この問題では、直線とだ円の交点を直接求めようとするより、まず直線の式をだ円に代入して2次方程式に帰着させるのが基本である。

(1)

は判別式 $D>0$ を使えばよい。接するときは $D=0$、交わらないときは $D<0$ であるため、異なる2点で交わる条件では必ず $D>0$ とする。

(2)

では、交点の座標を具体的に求める必要はない。2点が同じ直線 $y=2x+k$ 上にあることから、$y$ 座標の差が $x$ 座標の差の $2$ 倍になる。したがって、線分の長さは $x$ 座標の差だけで表せる。さらに、2次方程式の2解の差を判別式で表すことで、計算を短くできる。

答え

(1)

$$ -2\sqrt{10}<k<2\sqrt{10} $$

(2)

$$ k=\pm \frac{2\sqrt{10}}{3} $$