数学C 楕円 問題 9 解説

方針・初手

2点 $(3,0),(-1,0)$ は楕円の焦点である。楕円では、焦点からの距離の和が長軸の長さ $2a$ に等しいので、まず中心・焦点距離・長半径を求める。

解法1

2つの焦点を

$$ F_1(3,0),\quad F_2(-1,0) $$

とする。

楕円の中心は、2つの焦点の中点であるから、

$$ \left(\frac{3+(-1)}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(1,0) $$

である。したがって、楕円の方程式は中心が $(1,0)$ の形

$$ \frac{(x-1)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

となる。

また、焦点は中心から左右に離れているので、長軸は $x$ 軸方向である。中心 $(1,0)$ から焦点 $(3,0)$ までの距離は

$$ c=3-1=2 $$

である。

焦点からの距離の和が $12$ であるから、楕円の長軸の長さは

$$ 2a=12 $$

であり、

$$ a=6 $$

となる。よって

$$ a^2=36 $$

である。

横長の楕円では、焦点距離 $c$、長半径 $a$、短半径 $b$ の間に

$$ c^2=a^2-b^2 $$

が成り立つ。したがって、

$$ 2^2=6^2-b^2 $$

より、

$$ 4=36-b^2 $$

となるから、

$$ b^2=32 $$

である。

よって楕円の方程式は

$$ \frac{(x-1)^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1 $$

である。

問題の方程式

$$ \frac{(x-r)^2}{p}+\frac{y^2}{q}=1 $$

と比較すると、

$$ p=36,\quad q=32,\quad r=1 $$

である。

解説

焦点が $(3,0),(-1,0)$ なので、楕円の中心はその中点 $(1,0)$ である。この時点で $r=1$ が分かる。

また、距離の和が $12$ であることから、長軸の長さが $12$、すなわち長半径は $6$ である。焦点が $x$ 軸上に並んでいるので長軸も $x$ 軸方向であり、分母のうち $(x-1)^2$ 側が $a^2=36$ になる。

最後に、焦点距離 $c=2$ を用いて

$$ b^2=a^2-c^2=36-4=32 $$

を求めればよい。

答え

$$ p=36,\quad q=32,\quad r=1 $$