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数学C 楕円問題 13 解説

方針・初手

2つの楕円はいずれも原点対称で、さらに座標軸について対称である。極座標で境界までの距離を角度ごとに比較すると、共通部分の面積を扇形の面積積分として処理できる。

解法1

極座標

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta $$

を用いる。

2つの楕円の内部条件は、それぞれ

$$ \frac{x^2}{3}+y^2\leqq 1,\qquad x^2+\frac{y^2}{3}\leqq 1 $$

であるから、

$$ r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{3}+\sin^2\theta\right)\leqq 1 $$

および

$$ r^2\left(\cos^2\theta+\frac{\sin^2\theta}{3}\right)\leqq 1 $$

となる。

共通部分は座標軸対称なので、第1象限の面積を求めて4倍すればよい。

第1象限で、さらに $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{4}$ を考える。この範囲では $\cos^2\theta\geqq \sin^2\theta$ であるから、

$$ \cos^2\theta+\frac{\sin^2\theta}{3} \geqq \frac{\cos^2\theta}{3}+\sin^2\theta $$

である。

したがって、この範囲では

$$ x^2+\frac{y^2}{3}=1 $$

の方が原点から近い境界を与える。よって半径の上限は

$$ r^2=\frac{1}{\cos^2\theta+\dfrac{\sin^2\theta}{3}} $$

である。

対称性により、第1象限のうち $\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の部分も同じ面積になる。したがって共通部分全体の面積 $S$ は

$$ S = 8\cdot \frac12 \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2\theta+\dfrac{\sin^2\theta}{3}} ,d\theta $$

である。すなわち

$$ S= 4\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2\theta+\dfrac{\sin^2\theta}{3}} ,d\theta $$

となる。

ここで $t=\tan\theta$ とおくと、

$$ d\theta=\frac{dt}{1+t^2} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \cos^2\theta+\frac{\sin^2\theta}{3} &= \frac{1}{1+t^2}+\frac{t^2}{3(1+t^2)}\\ &= \frac{1+\dfrac{t^2}{3}}{1+t^2} \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &= 4\int_0^1 \frac{1}{1+\dfrac{t^2}{3}} ,dt \\ &= 4\sqrt{3} \left[ \arctan\frac{t}{\sqrt{3}} \right]_0^1 \\ &= 4\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{2\sqrt{3}\pi}{3}. \end{aligned} $$

解法2

第1象限で2つの楕円の上下関係を調べる。

境界の交点は

$$ \frac{x^2}{3}+y^2=1,\qquad x^2+\frac{y^2}{3}=1 $$

を連立して求める。両式を引くと

$$ -\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2=0 $$

より、

$$ x^2=y^2 $$

である。第1象限では $y=x$ だから、

$$ \frac{x^2}{3}+x^2=1 $$

より

$$ x=y=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となる。

第1象限において、2つの楕円の上側の境界はそれぞれ

$$ y=\sqrt{1-\frac{x^2}{3}} $$

および

$$ y=\sqrt{3-3x^2} $$

である。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ では

$$ \sqrt{1-\frac{x^2}{3}} \leqq \sqrt{3-3x^2} $$

であり、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq 1$ では逆になる。したがって第1象限の共通部分の面積 $S_1$ は

$$ S_1 = \int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1-\frac{x^2}{3}},dx + \int_{\sqrt{3}/2}^{1} \sqrt{3-3x^2},dx $$

である。

第1項は $x=\sqrt{3}\sin\theta$ とおくと、$x=0$ で $\theta=0$、$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ である。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1-\frac{x^2}{3}},dx &= \sqrt{3}\int_0^{\pi/6}\cos^2\theta,d\theta \\ &= \sqrt{3} \left[ \frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4} \right]_0^{\pi/6} \\ &= \frac{\sqrt{3}\pi}{12}+\frac{3}{8}. \end{aligned} $$

第2項は

$$ \int_{\sqrt{3}/2}^{1} \sqrt{3-3x^2},dx = \sqrt{3}\int_{\sqrt{3}/2}^{1} \sqrt{1-x^2},dx $$

である。$x=\sin\theta$ とおくと、$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で $\theta=\dfrac{\pi}{3}$、$x=1$ で $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{\sqrt{3}/2}^{1} \sqrt{3-3x^2},dx &= \sqrt{3}\int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos^2\theta,d\theta \\ &= \sqrt{3} \left[ \frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4} \right]_{\pi/3}^{\pi/2} \\ &= \frac{\sqrt{3}\pi}{12}-\frac{3}{8}. \end{aligned} $$

したがって

$$ S_1 = \left( \frac{\sqrt{3}\pi}{12}+\frac{3}{8} \right) + \left( \frac{\sqrt{3}\pi}{12}-\frac{3}{8} \right) = \frac{\sqrt{3}\pi}{6}. $$

全体は第1象限の4倍なので、

$$ S=4S_1=\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}. $$