数学C 楕円 問題 14 解説

方針・初手

楕円上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式を用いる。点 $P(1,3)$ から引いた接線の接点を $Q,R$ とみれば、$Q,R$ は「接点の軌跡」として得られる直線上にある。

その直線と楕円の交点の中点を求めれば $M$ が求まる。また、$PQ=PR$ の条件は、$M$ を用いて「$PM$ と $QR$ が垂直」と言い換えられる。

解法1

楕円

$$ ax^2+\frac{y^2}{2a}=1 $$

上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は

$$ axx_1+\frac{yy_1}{2a}=1 $$

である。

この接線が点 $P(1,3)$ を通るための条件は

$$ a x_1+\frac{3y_1}{2a}=1 $$

である。したがって、接点 $Q,R$ はともに直線

$$ ax+\frac{3}{2a}y=1 $$

上にある。

よって

$$ [\チ]=a,\qquad [ツ]=\frac{3}{2a} $$

である。

次に、この直線と楕円の交点 $Q,R$ の中点 $M$ を求める。直線を $y$ について解くと

$$ y=\frac{2a}{3}(1-ax) $$

である。これを楕円に代入すると

$$ ax^2+\frac{1}{2a}\left\{\frac{2a}{3}(1-ax)\right\}^2=1 $$

となる。整理して

$$ \left(a+\frac{2a^3}{9}\right)x^2-\frac{4a^2}{9}x+\frac{2a}{9}-1=0 $$

を得る。

この2つの解が $Q,R$ の $x$ 座標であるから、その和は

$$ \frac{\frac{4a^2}{9}}{a+\frac{2a^3}{9}} =\frac{4a}{2a^2+9} $$

である。したがって中点 $M$ の $x$ 座標は

$$ \frac{2a}{2a^2+9} $$

である。

また、$M$ は直線 $y=\frac{2a}{3}(1-ax)$ 上にあるから、

$$ y_M=\frac{2a}{3}\left(1-a\cdot \frac{2a}{2a^2+9}\right) =\frac{2a}{3}\cdot \frac{9}{2a^2+9} =\frac{6a}{2a^2+9} $$

である。よって

$$ M\left(\frac{2a}{2a^2+9},\frac{6a}{2a^2+9}\right) $$

である。

したがって

$$ \frac{6a}{2a^2+9}=3\cdot \frac{2a}{2a^2+9} $$

より、$M$ は直線

$$ y=3x $$

上にある。

よって

$$ [\テ]=\frac{2a}{2a^2+9},\qquad [\ト]=\frac{6a}{2a^2+9},\qquad [\ナ]=3 $$

である。

次に、$PQ=PR$ となる条件を求める。$M$ は $QR$ の中点であるから、$Q=M+\vec v,\ R=M-\vec v$ とおける。ただし、$\vec v$ は直線 $QR$ に平行なベクトルである。

このとき

$$ PQ^2-PR^2 =|P-M-\vec v|^2-|P-M+\vec v|^2 =-4(P-M)\cdot \vec v $$

である。したがって

$$ PQ=PR $$

となるための条件は

$$ (P-M)\cdot \vec v=0 $$

すなわち、$PM\perp QR$ である。

$P(1,3)$ も直線 $y=3x$ 上にあり、先ほど $M$ も $y=3x$ 上にあることが分かったので、直線 $PM$ の傾きは $3$ である。

一方、直線 $QR$ は

$$ ax+\frac{3}{2a}y=1 $$

であるから、その傾きは

$$ -\frac{a}{\frac{3}{2a}}=-\frac{2a^2}{3} $$

である。

$PM\perp QR$ より、傾きの積が $-1$ となればよいので

$$ 3\left(-\frac{2a^2}{3}\right)=-1 $$

すなわち

$$ -2a^2=-1 $$

である。$a>0$ より

$$ a=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。

よって

$$ [\ニ]=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。

次に、面積比 $\dfrac{S_1}{S_2}$ を求める。三角形 $\triangle PQR$ と $\triangle OQR$ は、共通の底辺 $QR$ をもつので、面積比はそれぞれの点 $P,O$ から直線 $QR$ までの距離の比に等しい。

直線 $QR$ は

$$ ax+\frac{3}{2a}y-1=0 $$

である。

原点 $O(0,0)$ からこの直線までの距離は

$$ \frac{1}{\sqrt{a^2+\frac{9}{4a^2}}} $$

である。

点 $P(1,3)$ からこの直線までの距離は

$$ \frac{\left|a+\frac{9}{2a}-1\right|} {\sqrt{a^2+\frac{9}{4a^2}}} $$

である。ここで $a>0$ に対して

$$ a+\frac{9}{2a}\geq 2\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt2>1 $$

であるから、絶対値の中は正である。よって

$$ \frac{S_1}{S_2} = a+\frac{9}{2a}-1 $$

である。

したがって

$$ [\ヌ]=a+\frac{9}{2a}-1 $$

である。

最後に、$a>0$ の範囲で

$$ f(a)=a+\frac{9}{2a}-1 $$

の最小値を求める。相加相乗平均より

$$ a+\frac{9}{2a}\geq 2\sqrt{a\cdot \frac{9}{2a}} =3\sqrt2 $$

であり、等号成立は

$$ a=\frac{9}{2a} $$

すなわち

$$ a^2=\frac{9}{2} $$

のときである。$a>0$ より

$$ a=\frac{3}{\sqrt2} $$

である。

したがって、$\dfrac{S_1}{S_2}$ は

$$ a=\frac{3}{\sqrt2} $$

のとき最小値

$$ 3\sqrt2-1 $$

をとる。

よって

$$ [\ネ]=\frac{3}{\sqrt2},\qquad [\ノ]=3\sqrt2-1 $$

である。

解説

この問題の要点は、点 $P$ から楕円に引いた2本の接線の接点 $Q,R$ が、接点条件

$$ a x_1+\frac{3y_1}{2a}=1 $$

を満たすことに気づく点である。これはいわゆる接触弦の方程式であり、楕円の接線公式から直接導ける。

また、$PQ=PR$ の条件を座標で直接計算しようとすると煩雑になる。$M$ が $QR$ の中点であることを利用し、

$$ PQ=PR \iff PM\perp QR $$

と見ると、傾きの計算だけで処理できる。

面積比についても、2つの三角形が共通の底辺 $QR$ をもつため、高さの比に帰着するのが自然である。直線と点の距離を用いれば、計算は大きく単純化される。

答え

$$ [\チ]=a,\qquad [\ツ]=\frac{3}{2a} $$

$$ [\テ]=\frac{2a}{2a^2+9},\qquad [\ト]=\frac{6a}{2a^2+9},\qquad [\ナ]=3 $$

$$ [\ニ]=\frac{1}{\sqrt2} $$

$$ [\ヌ]=a+\frac{9}{2a}-1 $$

$$ [\ネ]=\frac{3}{\sqrt2},\qquad [\ノ]=3\sqrt2-1 $$