数学C 楕円 問題 15 解説

方針・初手

$P$ はだ円 $C$ 上の点であり、直線 $OP$ の傾きは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

(1) は、この傾きをもつ直線 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+k$ がだ円 $C$ に接する条件を調べればよい。

(2) は、$Q=(x,y)$ とおくと、$\triangle OPQ$ の面積が $x,y$ の一次式の絶対値で表されるので、その最大値をだ円上で求める。

解法1

まず、点 $P\left(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ より、直線 $OP$ の傾きは

$$ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

したがって、$OP$ に平行な直線は

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+k $$

と表せる。

これがだ円

$$ \frac{x^2}{4}+y^2=1 $$

に接する条件を求める。代入すると、

$$ \frac{x^2}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+k\right)^2=1 $$

である。展開して整理すると、

$$ x^2+\sqrt{3}kx+k^2-1=0 $$

となる。

この直線がだ円に接するためには、この $x$ の二次方程式が重解をもてばよい。判別式を $D$ とすると、

$$ D=(\sqrt{3}k)^2-4(k^2-1)=3k^2-4k^2+4=4-k^2 $$

である。よって接する条件は

$$ 4-k^2=0 $$

すなわち

$$ k=\pm 2 $$

である。

したがって、求める接線は

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2,\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-2 $$

である。

次に、$Q=(x,y)$ とおく。三角形 $OPQ$ の面積を $S$ とすると、

$$ S=\frac{1}{2}\left|1\cdot y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right| $$

である。よって

$$ S=\frac{1}{2}\left|y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right| $$

となる。

ここで、直線

$$ y-\frac{\sqrt{3}}{2}x=t $$

を考える。この直線がだ円 $C$ と交わるような $t$ の範囲を調べれば、$\left|y-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right|$ の最大値が分かる。

これは

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+t $$

がだ円と共有点をもつ条件である。先ほどと同じ計算により、共有点をもつ条件は判別式が $0$ 以上であることだから、

$$ 4-t^2\geqq 0 $$

である。したがって

$$ -2\leqq t\leqq 2 $$

となる。

よって

$$ \left|y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right| $$

の最大値は $2$ であり、三角形 $OPQ$ の面積の最大値は

$$ \frac{1}{2}\cdot 2=1 $$

である。

最大値を与えるのは $t=2$ または $t=-2$ のときである。

(i)

$t=2$ のとき

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2 $$

とだ円の接点を求める。先ほどの二次方程式に $k=2$ を代入すると、

$$ x^2+2\sqrt{3}x+3=0 $$

すなわち

$$ (x+\sqrt{3})^2=0 $$

である。よって

$$ x=-\sqrt{3} $$

であり、

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3})+2=\frac{1}{2} $$

となる。したがって

$$ Q=\left(-\sqrt{3},\frac{1}{2}\right) $$

である。

(ii)

$t=-2$ のとき

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-2 $$

とだ円の接点を求める。二次方程式に $k=-2$ を代入すると、

$$ x^2-2\sqrt{3}x+3=0 $$

すなわち

$$ (x-\sqrt{3})^2=0 $$

である。よって

$$ x=\sqrt{3} $$

であり、

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{3}-2=-\frac{1}{2} $$

となる。したがって

$$ Q=\left(\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right) $$

である。

解説

(1) は「指定された方向に平行な接線」を求める問題なので、傾きを固定して切片だけを動かすのが自然である。だ円との交点を表す二次方程式が重解をもつとき、直線は接線になる。

(2) は、面積を座標で表すと

$$ \frac{1}{2}\left|y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right| $$

となる点が重要である。この値は、$Q$ を通り $OP$ に平行な直線の切片の絶対値に対応している。したがって、最大値はだ円に平行接線が引ける限界、すなわち (1) で求めた接線の位置で達成される。

答え

(1)

$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2,\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-2 $$

(2)

面積の最大値は

$$ 1 $$

最大値を与える $Q$ の座標は

$$ Q=\left(-\sqrt{3},\frac{1}{2}\right),\qquad Q=\left(\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right) $$