数学C 楕円 問題 17 解説

方針・初手

点 $Q$ は直線 $C_2$ 上を自由に動けるので、点 $P$ を固定したときの線分 $PQ$ の最小値は、点 $P$ から直線 $C_2$ までの距離である。

したがって、曲線 $C_1$ 上の点から直線 $C_2$ までの距離の最小値を求めればよい。

解法1

直線 $C_2$ は

$$ y=2ax-3a $$

より、

$$ 2ax-y-3a=0 $$

と書ける。

点 $P=(x,y)$ からこの直線までの距離は

$$ \frac{|2ax-y-3a|}{\sqrt{(2a)^2+(-1)^2}} = \frac{|2ax-y-3a|}{\sqrt{4a^2+1}} $$

である。

ここで $P$ は $C_1$ 上の点なので、

$$ x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 $$

を満たす。$a>0$ より、媒介変数表示

$$ x=\cos\theta,\qquad y=a\sin\theta $$

とおける。

このとき、分子は

$$ |2a\cos\theta-a\sin\theta-3a| = a|2\cos\theta-\sin\theta-3| $$

となる。

ここで

$$ 2\cos\theta-\sin\theta $$

の最大値は

$$ \sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5 $$

である。したがって

$$ -\sqrt5\le 2\cos\theta-\sin\theta\le \sqrt5 $$

である。

また $\sqrt5<3$ だから、

$$ 2\cos\theta-\sin\theta-3<0 $$

が常に成り立つ。よって

$$ |2\cos\theta-\sin\theta-3| = 3-2\cos\theta+\sin\theta $$

である。

これを最小にするには、$2\cos\theta-\sin\theta$ を最大にすればよい。その最大値は $\sqrt5$ であるから、

$$ \min |2\cos\theta-\sin\theta-3| = 3-\sqrt5 $$

となる。

したがって、求める最小値は

$$ f(a)=\frac{a(3-\sqrt5)}{\sqrt{4a^2+1}} $$

である。

次に極限を求める。

$$ f(a)=\frac{a(3-\sqrt5)}{\sqrt{4a^2+1}} = \frac{3-\sqrt5}{\sqrt{4+\frac{1}{a^2}}} $$

であるから、

$$ \lim_{a\to\infty}f(a) = \frac{3-\sqrt5}{2} $$

である。

解説

この問題は、点と直線の距離に帰着するのが初手である。点 $Q$ が直線上を自由に動けるため、点 $P$ を固定すれば、$PQ$ の最小値は垂線の長さになる。

あとは楕円上で一次式 $2ax-y-3a$ の絶対値を最小化する問題になる。楕円を

$$ x=\cos\theta,\qquad y=a\sin\theta $$

とおくと、三角関数の一次結合 $2\cos\theta-\sin\theta$ の最大値を用いるだけで処理できる。

注意すべき点は、直線と楕円が交わるかどうかである。もし交われば最小距離は $0$ になる。しかし本問では

$$ 2\cos\theta-\sin\theta\le \sqrt5<3 $$

より、$2\cos\theta-\sin\theta-3=0$ となることはなく、交点は存在しない。

答え

(1)

$$ f(a)=\frac{a(3-\sqrt5)}{\sqrt{4a^2+1}} $$

(2)

$$ \lim_{a\to\infty}f(a)=\frac{3-\sqrt5}{2} $$