数学C 楕円 問題 18 解説

方針・初手

焦点を用いる極方程式では、楕円上の点から2つの焦点までの距離の和が $2a$ であることを使う。

また、原点から楕円上の点までの距離は、原点中心の極座標で楕円の方程式に代入すれば求められる。直交する2方向は角が $\dfrac{\pi}{2}$ だけ異なるので、その2つを比較する。

解法1

$c=\sqrt{a^2-b^2}$ とおく。楕円

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

の焦点は

$$ (-c,0),\ (c,0) $$

である。$x$ 座標が小さい方の焦点を $F$ とするので、

$$ F=(-c,0) $$

である。

(1)

$F$ を極とし、$x$ 軸の正の方向に平行な半直線を始線とする極座標を $(r,\theta)$ とする。このとき、楕円上の点 $P$ の座標は

$$ P=(-c+r\cos\theta,\ r\sin\theta) $$

である。

もう一方の焦点を $F'=(c,0)$ とする。楕円の定義より、

$$ PF+PF'=2a $$

である。ここで $PF=r$ であり、

$$ PF'=\sqrt{(r\cos\theta-2c)^2+(r\sin\theta)^2} =\sqrt{r^2-4cr\cos\theta+4c^2} $$

である。したがって

$$ r+\sqrt{r^2-4cr\cos\theta+4c^2}=2a $$

となる。両辺を移項して平方すると、

$$ r^2-4cr\cos\theta+4c^2=(2a-r)^2 $$

である。右辺を展開して整理すると、

$$ r^2-4cr\cos\theta+4c^2=4a^2-4ar+r^2 $$

より、

$$ -ar+cr\cos\theta=c^2-a^2 $$

すなわち

$$ r(a-c\cos\theta)=a^2-c^2 $$

である。ここで $c^2=a^2-b^2$ だから、

$$ a^2-c^2=b^2 $$

である。よって

$$ r=\frac{b^2}{a-c\cos\theta} $$

を得る。$c=\sqrt{a^2-b^2}$ を戻すと、求める極方程式は

$$ r=f(\theta)=\frac{b^2}{a-\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta} $$

である。

なお、$a>c>0$ であるから、任意の $\theta$ に対して分母 $a-c\cos\theta$ は正であり、この式は楕円全体を表す。

(2)

原点 $O$ を極とする通常の極座標を考える。楕円上の点 $P$ が、原点から見て偏角 $\phi$ の方向にあり、$OP=r$ とすると、

$$ P=(r\cos\phi,\ r\sin\phi) $$

である。これを楕円の方程式に代入すると、

$$ \frac{r^2\cos^2\phi}{a^2}+\frac{r^2\sin^2\phi}{b^2}=1 $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{r^2}=\frac{\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\phi}{b^2} $$

となる。

いま、$OP_1$ の方向角を $\phi$ とする。すると、$OP_2$ は $OP_1$ と垂直なので、$OP_2$ の方向角は $\phi+\dfrac{\pi}{2}$ としてよい。

よって、$OP_1=r_1$ について

$$ \frac{1}{r_1^2}=\frac{\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\phi}{b^2} $$

である。一方、$OP_2=r_2$ については

$$ \frac{1}{r_2^2} =\frac{\cos^2\left(\phi+\dfrac{\pi}{2}\right)}{a^2} +\frac{\sin^2\left(\phi+\dfrac{\pi}{2}\right)}{b^2} $$

である。ここで

$$ \cos\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\phi,\qquad \sin\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\phi $$

だから、

$$ \frac{1}{r_2^2} =\frac{\sin^2\phi}{a^2}+\frac{\cos^2\phi}{b^2} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2} &= \left(\frac{\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\phi}{b^2}\right) + \left(\frac{\sin^2\phi}{a^2}+\frac{\cos^2\phi}{b^2}\right)\\ &= \frac{\cos^2\phi+\sin^2\phi}{a^2} + \frac{\sin^2\phi+\cos^2\phi}{b^2}\\ &= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \end{aligned} $$

である。これは $\phi$ によらないので、$\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}$ は定数である。

解説

(1) は焦点を極とする極方程式なので、楕円の定義である「2焦点からの距離の和が一定」を使うのが自然である。焦点を原点とする極座標では、片方の焦点までの距離がそのまま $r$ になるため、計算が簡単になる。

(2) は、原点中心の極座標で楕円を見たときの半径 $r$ の逆数平方を調べる問題である。楕円

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

に $x=r\cos\phi,\ y=r\sin\phi$ を代入すれば、方向角 $\phi$ に対して

$$ \frac{1}{r^2}=\frac{\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\phi}{b^2} $$

が得られる。直交する方向では $\cos^2\phi$ と $\sin^2\phi$ が入れ替わるため、和を取ると角度への依存が消える。

答え

(1)

$$ r=f(\theta)=\frac{b^2}{a-\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta} $$

(2)

$$ \frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} $$

したがって、$\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}$ は定数である。