数学C 楕円 問題 19 解説

方針・初手

だ円上の点を三角関数で表すと、条件式が自動的に満たされる。すると求める式は $\cos t,\sin t$ の一次式になり、最大・最小は合成または Cauchy-Schwarz の不等式で処理できる。

解法1

条件

$$ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1 $$

より、実数 $t$ を用いて

$$ x=4\cos t,\qquad y=2\sin t $$

とおける。

このとき、求める式を $F$ とすると

$$ \begin{aligned} F &=(x-1)^2+4(y-1)^2\\ &=(4\cos t-1)^2+4(2\sin t-1)^2\\ &=16\cos^2 t-8\cos t+1+16\sin^2 t-16\sin t+4\\ &=16(\cos^2 t+\sin^2 t)+5-8\cos t-16\sin t\\ &=21-8\cos t-16\sin t \end{aligned} $$

ここで

$$ 8\cos t+16\sin t $$

の最大値と最小値を求めればよい。

Cauchy-Schwarz の不等式より、

$$ |8\cos t+16\sin t| \leqq \sqrt{8^2+16^2}\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t} =8\sqrt5 $$

である。また、等号は適当な $t$ で成立するので、

$$ -8\sqrt5 \leqq 8\cos t+16\sin t \leqq 8\sqrt5 $$

である。

したがって

$$ F=21-(8\cos t+16\sin t) $$

より、$F$ の最大値は $8\cos t+16\sin t$ が最小値 $-8\sqrt5$ をとるときで、

$$ 21-(-8\sqrt5)=21+8\sqrt5 $$

となる。

また、$F$ の最小値は $8\cos t+16\sin t$ が最大値 $8\sqrt5$ をとるときで、

$$ 21-8\sqrt5 $$

となる。

解説

だ円

$$ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1 $$

では、$x=4\cos t,\ y=2\sin t$ とおくのが基本である。この置き方により、条件式を保ったまま $x,y$ を1つの変数で扱える。

今回は、展開後に $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ が使えるため、2次式ではなく $\cos t,\sin t$ の一次式に落ちる。よって、合成または Cauchy-Schwarz の不等式で最大・最小を直接求められる。

答え

⑥

$$ 21+8\sqrt5 $$

⑦

$$ 21-8\sqrt5 $$