数学C 楕円 問題 22 解説

方針・初手

辺 $AB$ の長さを $c$ とおくと、三辺の和が $2$ であるから

$$ c=2-a-b $$

である。回転体の体積 $V$ を三角形の面積で表し、その後に Heron の公式を用いて $a,b$ の式に直す。

解法1

三角形 $ABC$ の面積を $S$、辺 $BC$ に対する高さを $h$ とする。辺 $BC$ を軸として回転すると、三角形の頂点 $A$ から辺 $BC$ へ下ろした垂線の足が辺 $BC$ 上にある場合は、回転体は底面半径 $h$ の2つの円錐を合わせたものになる。

また、垂線の足が辺 $BC$ の外側にある場合も、大きい円錐から小さい円錐を引く形になるため、いずれの場合も体積は

$$ V=\frac{1}{3}\pi h^2\cdot BC=\frac{1}{3}\pi a h^2 $$

である。

一方、

$$ S=\frac{1}{2}ah $$

より、

$$ h=\frac{2S}{a} $$

である。したがって

$$ V=\frac{1}{3}\pi a\left(\frac{2S}{a}\right)^2 =\frac{4\pi S^2}{3a} $$

となる。

ここで、三角形の半周長は

$$ \frac{a+b+c}{2}=1 $$

である。Heron の公式より

$$ S^2=1(1-a)(1-b)(1-c) $$

である。さらに $c=2-a-b$ であるから、

$$ 1-c=1-(2-a-b)=a+b-1 $$

である。よって

$$ S^2=(1-a)(1-b)(a+b-1) $$

となり、

$$ V=\frac{4\pi}{3a}(1-a)(1-b)(a+b-1) $$

を得る。

三角形が存在するためには

$$ 0<a<1,\qquad 1-a<b<1 $$

が必要である。

(1)

$a$ を固定する。このとき $V$ のうち $b$ に依存する部分は

$$ (1-b)(a+b-1) $$

である。

ここで

$$ x=1-b,\qquad y=a+b-1 $$

とおくと、$1-a<b<1$ より $x>0,\ y>0$ であり、

$$ x+y=(1-b)+(a+b-1)=a $$

である。

正の数 $x,y$ の和が $a$ で一定であるから、積 $xy$ は $x=y$ のとき最大となる。したがって

$$ 1-b=a+b-1 $$

のとき $V$ は最大となる。

これを解くと

$$ 2b=2-a $$

より

$$ b=1-\frac{a}{2} $$

である。このとき

$$ c=2-a-b =2-a-\left(1-\frac{a}{2}\right) =1-\frac{a}{2} $$

となるから、

$$ b=c $$

である。すなわち

$$ CA=AB $$

であり、三角形 $ABC$ は辺 $BC$ を底辺とする二等辺三角形である。

よって、$a$ を固定して $b$ を変化させるとき、$V$ が最大になるのは三角形 $ABC$ が辺 $BC$ を底辺とする二等辺三角形となるときである。

(2)

(1) の結果より、各 $a$ に対して $V$ が最大となるのは

$$ b=c=1-\frac{a}{2} $$

のときである。このとき

$$ 1-b=a+b-1=\frac{a}{2} $$

であるから、

$$ V =\frac{4\pi}{3a}(1-a)\left(\frac{a}{2}\right)^2 =\frac{\pi}{3}a(1-a) $$

となる。

あとは $0<a<1$ において

$$ a(1-a) $$

を最大にすればよい。

平方完成すると

$$ a(1-a) =-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4} $$

であるから、最大となるのは

$$ a=\frac{1}{2} $$

のときであり、その最大値は

$$ \frac{1}{4} $$

である。

したがって

$$ V_{\max} =\frac{\pi}{3}\cdot \frac{1}{4} =\frac{\pi}{12} $$

である。

このとき

$$ b=1-\frac{a}{2} =1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4} $$

である。

解説

この問題の核心は、回転体の体積を三角形の高さ $h$ で

$$ V=\frac{1}{3}\pi a h^2 $$

と表すことである。垂線の足が辺 $BC$ の外側にある場合でも、回転体は大きい円錐から小さい円錐を引いた形になるため、同じ式が成り立つ。

その後は、三辺の和が $2$ であることから半周長が $1$ となり、Heron の公式が非常に簡単になる。固定された $a$ に対しては、和が一定の2数の積の最大を用いることで、二等辺三角形が最大を与えることが分かる。

答え

(1)

$a$ を固定して $b$ を変化させるとき、$V$ が最大になるのは

$$ AB=CA $$

すなわち三角形 $ABC$ が辺 $BC$ を底辺とする二等辺三角形となるときである。

(2)

最大値は

$$ \frac{\pi}{12} $$

であり、そのとき

$$ a=\frac{1}{2},\qquad b=\frac{3}{4} $$

である。