数学C 双曲線 問題 1 解説

方針・初手

接点を直接置くのが最も自然である。双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $(a,b)$ における接線は $ax-by=1$ と表せるので、この接線が $P(0,p)$ を通る条件から接点の座標を求める。

その後、$A,B$ が対称な位置に出るため、底辺 $AB$ と高さを用いて $\triangle PAB$ の面積を $p$ の関数として表し、最小値を調べる。

解法1

双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $(a,b)$ における接線は

$$ ax-by=1 $$

である。ただし、接点は双曲線上にあるので

$$ a^2-b^2=1 $$

を満たす。

この接線が点 $P(0,p)$ を通るための条件は

$$ a\cdot 0-bp=1 $$

すなわち

$$ b=-\frac{1}{p} $$

である。

これを $a^2-b^2=1$ に代入すると

$$ a^2-\frac{1}{p^2}=1 $$

より

$$ a^2=1+\frac{1}{p^2}=\frac{p^2+1}{p^2} $$

となる。$p>0$ だから、接点は

$$ A\left(\frac{\sqrt{p^2+1}}{p},-\frac{1}{p}\right),\quad B\left(-\frac{\sqrt{p^2+1}}{p},-\frac{1}{p}\right) $$

とおける。

したがって、$AB$ は水平な線分であり、その長さは

$$ AB=\frac{2\sqrt{p^2+1}}{p} $$

である。また、点 $P(0,p)$ から直線 $AB$、すなわち $y=-1/p$ までの距離は

$$ p-\left(-\frac{1}{p}\right)=p+\frac{1}{p} $$

である。

よって、$\triangle PAB$ の面積を $S$ とすると

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \left(p+\frac{1}{p}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{p^2+1}}{p}\cdot \left(p+\frac{1}{p}\right)\\ &=\frac{\sqrt{p^2+1}}{p}\cdot \frac{p^2+1}{p}\\ &=\frac{(p^2+1)^{3/2}}{p^2}. \end{aligned} $$

ここで $t=p^2$ とおくと、$p>0$ より $t>0$ であり、

$$ S=\frac{(t+1)^{3/2}}{t} $$

となる。

この関数を最小化する。対数微分を用いると、

$$ \log S=\frac{3}{2}\log(t+1)-\log t $$

であるから、

$$ \frac{d}{dt}\log S =\frac{3}{2(t+1)}-\frac{1}{t} =\frac{3t-2(t+1)}{2t(t+1)} =\frac{t-2}{2t(t+1)}. $$

$t>0$ では分母 $2t(t+1)$ は正である。したがって、$S$ は $0<t<2$ で減少し、$t>2$ で増加する。

よって、面積は

$$ t=2 $$

のとき最小となる。$t=p^2$ であったから、

$$ p^2=2 $$

より

$$ p=\sqrt{2} $$

である。

解説

接線を傾きで置くよりも、接点 $(a,b)$ を置いて接線の公式 $ax-by=1$ を使う方が処理が短い。点 $P(0,p)$ を通る条件から、接点の $y$ 座標がただちに $-1/p$ と決まり、2つの接点が左右対称に出る。

その結果、三角形の底辺 $AB$ は水平になり、高さもすぐに求まる。面積を $p$ の関数として表した後は、$t=p^2$ とおくことで微分が簡単になる。

答え

$$ p=\sqrt{2} $$