数学C 双曲線 問題 2 解説

方針・初手

点 $A$ の座標を $(a,b)$ とおき、双曲線上の条件 $a^2-b^2=1$ を使う。接線の方程式を求めたあと、原点からその接線へ下ろした垂線の足 $B$ までの距離 $OB$ を点と直線の距離公式で求める。

解法1

点 $A$ の座標を

$$ A(a,b) $$

とおく。点 $A$ は双曲線 $x^2-y^2=1$ 上にあるから、

$$ a^2-b^2=1 $$

が成り立つ。

双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $(a,b)$ における接線は

$$ ax-by=1 $$

である。

ここで、原点 $O(0,0)$ から直線 $ax-by-1=0$ に下ろした垂線の足を $B$ とする。したがって、$OB$ は原点から直線 $ax-by-1=0$ までの距離である。

点と直線の距離公式より、

$$ OB=\frac{|a\cdot 0-b\cdot 0-1|}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。

一方、

$$ OA=\sqrt{a^2+b^2} $$

であるから、

$$ OA\cdot OB = \sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} =1 $$

となる。

解説

この問題では、点 $A$ の具体的な位置を求める必要はない。任意の点 $A(a,b)$ に対して接線を立て、原点からその接線までの距離を求めればよい。

重要なのは、双曲線 $x^2-y^2=1$ の点 $(a,b)$ における接線が

$$ ax-by=1 $$

と書けることである。あとは $OA$ が $\sqrt{a^2+b^2}$、$OB$ がその逆数になるため、積は常に一定になる。

答え

$$ \boxed{OA\cdot OB=1} $$