数学C 双曲線 問題 5 解説

方針・初手

双曲線

$$ px^2-y^2=1 $$

は $x$ 軸方向に開く双曲線であり、漸近線は最高次の部分

$$ px^2-y^2=0 $$

から求める。

接線については、点 $\left(\dfrac{1}{\sqrt p},2\right)$ を通る直線をおき、それを双曲線の方程式に代入して、交点が重解になる条件を使う。

解法1

双曲線

$$ px^2-y^2=1 $$

の漸近線は

$$ px^2-y^2=0 $$

より

$$ y=\pm \sqrt p x $$

である。したがって、$①=\sqrt p$ である。

点

$$ \left(\frac{1}{\sqrt p},0\right) $$

は双曲線上の点である。この点では双曲線の接線は $y$ 軸に平行であるから、接線の方程式は

$$ x=\frac{1}{\sqrt p} $$

である。よって $②=x=\dfrac{1}{\sqrt p}$ である。

もう一方の接線を考える。この接線は点

$$ \left(\frac{1}{\sqrt p},2\right) $$

を通り、傾きが $m$ であるから

$$ y=m\left(x-\frac{1}{\sqrt p}\right)+2 $$

とおける。したがって、$③=\dfrac{1}{\sqrt p}$、$④=2$ である。

この直線を

$$ y=mx+2-\frac{m}{\sqrt p} $$

と書く。これを双曲線の方程式 $px^2-y^2=1$ に代入する。

$$ px^2-\left(mx+2-\frac{m}{\sqrt p}\right)^2=1 $$

これが $x$ について重解をもつことが、直線が双曲線に接する条件である。

ただし、$m$ は接線

$$ x=\frac{1}{\sqrt p} $$

とは異なる接線の傾きである。

計算を進めると、重解条件から

$$ m=\frac{5\sqrt p}{4} $$

を得る。よって $⑤=\dfrac{5\sqrt p}{4}$ である。

これを直線の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} y&=\frac{5\sqrt p}{4}\left(x-\frac{1}{\sqrt p}\right)+2\\ &=\frac{5\sqrt p}{4}x-\frac{5}{4}+2\\ &=\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4} \end{aligned} $$

したがって、

$$ y=\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4} $$

であり、$⑤=\dfrac{5\sqrt p}{4}$、$⑥=\dfrac{3}{4}$ である。

次に、接点を求める。接線

$$ y=\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4} $$

を双曲線に代入する。

$$ px^2-\left(\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4}\right)^2=1 $$

両辺を整理する。

$$ px^2-\left(\frac{25p}{16}x^2+\frac{15\sqrt p}{8}x+\frac{9}{16}\right)=1 $$

$$ -\frac{9p}{16}x^2-\frac{15\sqrt p}{8}x-\frac{9}{16}=1 $$

両辺に $16$ をかけて整理する。

$$ -9px^2-30\sqrt p x-9=16 $$

$$ 9px^2+30\sqrt p x+25=0 $$

これは

$$ (3\sqrt p x+5)^2=0 $$

となるので、

$$ x=-\frac{5}{3\sqrt p} $$

である。

これを接線の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} y&=\frac{5\sqrt p}{4}\left(-\frac{5}{3\sqrt p}\right)+\frac{3}{4}\\ &=-\frac{25}{12}+\frac{9}{12}\\ &=-\frac{16}{12}\\ &=-\frac{4}{3} \end{aligned} $$

よって接点は

$$ \left(-\frac{5}{3\sqrt p},-\frac{4}{3}\right) $$

である。

したがって、$⑦=-\dfrac{5}{3\sqrt p}$、$⑧=-\dfrac{4}{3}$ である。

$p=\dfrac14$ のとき、

$$ \sqrt p=\frac12 $$

であるから、双曲線、漸近線、接線はそれぞれ

$$ \frac14x^2-y^2=1 $$

$$ y=\pm \frac12x $$

$$ y=\frac58x+\frac34 $$

である。

また、接線 $C$ の接点は

$$ \left(-\frac{10}{3},-\frac{4}{3}\right) $$

である。双曲線は $x$ 軸方向に開き、頂点は

$$ (-2,0),\ (2,0) $$

である。接線 $x=2$ は右側の頂点 $(2,0)$ における接線であり、接線 $C$ は左側の枝に接する。

解説

この問題では、双曲線の漸近線と接線条件を正確に処理することが重要である。

漸近線は定数項を無視した式

$$ px^2-y^2=0 $$

から求める。

接線については、点 $\left(\dfrac{1}{\sqrt p},2\right)$ を通る直線を

$$ y=m\left(x-\frac{1}{\sqrt p}\right)+2 $$

とおき、双曲線に代入して重解条件を使うのが基本である。

また、点 $\left(\dfrac{1}{\sqrt p},0\right)$ における接線は通常の傾きで表せない。ここを無理に $y=mx+n$ とおくと見落とすので、縦の接線

$$ x=\frac{1}{\sqrt p} $$

として扱う必要がある。

答え

$$ ①=\sqrt p $$

$$ ②\ x=\frac{1}{\sqrt p} $$

$$ ③=\frac{1}{\sqrt p} $$

$$ ④=2 $$

$$ ⑤=\frac{5\sqrt p}{4} $$

$$ ⑥=\frac{3}{4} $$

$$ ⑦=-\frac{5}{3\sqrt p} $$

$$ ⑧=-\frac{4}{3} $$

$⑨$ は、$p=\dfrac14$ として次の3つを同じ座標平面上にかく。

$$ **(A)** \quad \frac14x^2-y^2=1 $$

$$ **(B)** \quad y=\pm \frac12x $$

$$ **(C)** \quad y=\frac58x+\frac34 $$

このとき、双曲線の頂点は $(-2,0),(2,0)$、接線 $C$ の接点は

$$ \left(-\frac{10}{3},-\frac{4}{3}\right) $$

である。