数学C 双曲線 問題 4 解説

方針・初手

接線の傾きは微分で求め，法線の傾きはその負の逆数を用いる。

円との共有点については，双曲線上の点を $(x,\frac{1}{x})$ とおき，中心 $Q(q,-q)$ からの距離を調べる。式の中に $x-\frac{1}{x}$ が自然に現れることが重要である。

解法1

$C_1:y=\frac{1}{x}$ より，

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2} $$

である。したがって，点 $P\left(p,\frac{1}{p}\right)$ における接線の傾きは

$$ -\frac{1}{p^2} $$

である。

よって法線の傾きはその負の逆数であるから，

$$ p^2 $$

である。したがって，法線の方程式は

$$ y-\frac{1}{p}=p^2(x-p) $$

すなわち

$$ y=p^2x-p^3+\frac{1}{p} $$

である。

次に，円 $C_2$ と $C_1$ の共有点を考える。$C_1$ 上の点を

$$ \left(x,\frac{1}{x}\right) \quad (x\neq 0) $$

とおくと，この点が中心 $Q(q,-q)$，半径 $r$ の円 $C_2$ 上にある条件は

$$ (x-q)^2+\left(\frac{1}{x}+q\right)^2=r^2 $$

である。

左辺を整理すると，

$$ \begin{aligned} (x-q)^2+\left(\frac{1}{x}+q\right)^2 &=x^2+\frac{1}{x^2}-2qx+\frac{2q}{x}+2q^2 \\ &=x^2+\frac{1}{x^2}-2q\left(x-\frac{1}{x}\right)+2q^2 \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ u=x-\frac{1}{x} $$

とおくと，

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=u^2+2 $$

であるから，

$$ r^2=u^2-2qu+2q^2+2 $$

すなわち

$$ r^2=(u-q)^2+q^2+2 $$

となる。

また，任意の実数 $u$ に対して

$$ x-\frac{1}{x}=u $$

は

$$ x^2-ux-1=0 $$

となり，判別式は

$$ u^2+4>0 $$

である。したがって，1つの実数 $u$ に対して，$C_1$ 上の点はちょうど2個対応する。

よって，$C_1$ と $C_2$ がちょうど2個の共有点をもつためには，$u$ の値がちょうど1個に定まればよい。

式

$$ r^2=(u-q)^2+q^2+2 $$

は

$$ (u-q)^2=r^2-q^2-2 $$

と書ける。実数 $u$ の解がちょうど1個であるための条件は

$$ r^2-q^2-2=0 $$

である。

したがって，

$$ r^2=q^2+2 $$

であり，半径 $r$ は正であるから，

$$ r=\sqrt{q^2+2} $$

である。

解法2

(1) の法線を用いて考える。

円 $C_2$ が $C_1$ とちょうど2個の共有点をもつとき，その2点は接点として現れる。このとき，円の中心 $Q(q,-q)$ は，接点における $C_1$ の法線上にある。

点 $P\left(p,\frac{1}{p}\right)$ における法線は

$$ y-\frac{1}{p}=p^2(x-p) $$

である。ここに $Q(q,-q)$ を代入すると，

$$ -q-\frac{1}{p}=p^2(q-p) $$

となる。

これを整理すると，

$$ -q-\frac{1}{p}=p^2q-p^3 $$

より，

$$ p^3-\frac{1}{p}=q(p^2+1) $$

である。両辺を整理して，

$$ q=\frac{p^3-\frac{1}{p}}{p^2+1} =\frac{p^4-1}{p(p^2+1)} =\frac{(p^2-1)(p^2+1)}{p(p^2+1)} =p-\frac{1}{p} $$

を得る。

したがって接点の $p$ は

$$ p-\frac{1}{p}=q $$

を満たす。この方程式は

$$ p^2-qp-1=0 $$

であり，判別式は

$$ q^2+4>0 $$

であるから，実数解をちょうど2個もつ。

このとき半径 $r$ は，中心 $Q(q,-q)$ と接点 $P\left(p,\frac{1}{p}\right)$ の距離である。$q=p-\frac{1}{p}$ を用いると，

$$ p-q=\frac{1}{p} $$

かつ

$$ \frac{1}{p}+q=p $$

であるから，

$$ r^2=\left(p-q\right)^2+\left(\frac{1}{p}+q\right)^2 =\frac{1}{p^2}+p^2 $$

である。

一方，

$$ q=p-\frac{1}{p} $$

より，

$$ q^2=p^2-2+\frac{1}{p^2} $$

である。したがって，

$$ p^2+\frac{1}{p^2}=q^2+2 $$

となるので，

$$ r^2=q^2+2 $$

である。

よって，

$$ r=\sqrt{q^2+2} $$

である。

解説

この問題の中心は，$C_1:y=\frac{1}{x}$ 上の点を $(x,\frac{1}{x})$ とおいたとき，中心 $Q(q,-q)$ からの距離が $x-\frac{1}{x}$ だけで整理できる点である。

また，$x-\frac{1}{x}=u$ とおくと，1つの $u$ に対して $C_1$ 上の点が必ず2個対応する。したがって，円との共有点がちょうど2個になる条件は，$u$ の解がちょうど1個になる条件に帰着される。

(1) の法線を使う解法では，円の中心が接点における法線上にあることを利用する。こちらは問題の誘導に沿った解法である。

答え

(1)

$$ y-\frac{1}{p}=p^2(x-p) $$

すなわち

$$ y=p^2x-p^3+\frac{1}{p} $$

(2)

$$ r=\sqrt{q^2+2} $$