数学C 双曲線 問題 15 解説

方針・初手

媒介変数 $t$ を消去して、$x,y$ の間の関係式を求める。

ここでは $x+y$ と $x-y$ を作ると、$t$ と $\dfrac{1}{t}$ が分離される。

解法1

与えられた式は

$$ x=t+\frac{1}{t},\qquad y=t-\frac{1}{t} $$

である。ここで $t\ne 0$ である。

両式を加えると

$$ x+y=2t $$

となり、両式を引くと

$$ x-y=\frac{2}{t} $$

となる。

したがって、これらを掛け合わせると

$$ (x+y)(x-y)=2t\cdot \frac{2}{t}=4 $$

である。よって

$$ x^2-y^2=4 $$

を得る。

逆に、曲線 $x^2-y^2=4$ 上の点については

$$ (x+y)(x-y)=4 $$

であるから、特に $x+y\ne 0$ である。そこで

$$ t=\frac{x+y}{2} $$

とおくと、

$$ x+y=2t,\qquad x-y=\frac{2}{t} $$

が成り立つ。これより

$$ x=t+\frac{1}{t},\qquad y=t-\frac{1}{t} $$

が復元できる。

したがって、点 $(x,y)$ は双曲線

$$ x^2-y^2=4 $$

をえがく。

また、$t>0$ のときは

$$ x=t+\frac{1}{t}\geqq 2 $$

であるから右側の枝を動き、$t<0$ のときは

$$ x=t+\frac{1}{t}\leqq -2 $$

であるから左側の枝を動く。

解説

この問題では、$t$ を直接解こうとするよりも、$x+y$ と $x-y$ を作るのが自然である。$t$ と $\dfrac{1}{t}$ がちょうど消去され、双曲線の標準形が現れる。

注意すべき点は、$t=0$ は許されないことである。ただし、得られる曲線 $x^2-y^2=4$ 上では $(x+y)(x-y)=4$ なので、$x+y=0$ や $x-y=0$ は起こらない。したがって、曲線上の点はすべて何らかの $t$ によって表される。

答え

$$ x^2-y^2=4 $$

すなわち、双曲線をえがく。