数学C 双曲線 問題 14 解説

方針・初手

直線 $\ell$ と $m$ が交点をもつかどうかは、両直線が平行でないかを調べればよい。

ただし、$t=-2$ のときは $\ell$ が鉛直線になるので、傾きだけで処理すると漏れが出る。したがって、まず $t=-2$ を含めて直線 $\ell$ の形を正確に扱う。

解法1

点 $A(-3,1)$，$B(t-1,t-1)$ より、$t\neq -2$ のとき、直線 $\ell$ の傾きは

$$ \frac{(t-1)-1}{(t-1)-(-3)} = \frac{t-2}{t+2} $$

である。

一方、直線 $m$ は点 $C(t,t)$ を通り、傾き $-1$ であるから、

$$ m:\ y-t=-(x-t) $$

すなわち

$$ m:\ y=-x+2t $$

である。

まず $t\neq -2$ の場合を考える。$\ell$ と $m$ が交点をもたないのは、両者が平行なときに限る。したがって

$$ \frac{t-2}{t+2}=-1 $$

となる場合を除けばよい。

これを解くと、

$$ t-2=-(t+2) $$

より

$$ 2t=0 $$

したがって

$$ t=0 $$

である。

実際、$t=0$ のとき、

$$ B(-1,-1),\quad C(0,0) $$

であり、$\ell$ は点 $A(-3,1)$，$B(-1,-1)$ を通る傾き $-1$ の直線、$m$ も傾き $-1$ の直線である。両者は異なる直線なので交点をもたない。

次に $t=-2$ の場合を確認する。このとき

$$ B(-3,-3) $$

であるから、$\ell$ は鉛直線

$$ x=-3 $$

である。一方 $m$ は傾き $-1$ の直線なので、$\ell$ と必ず交点をもつ。

よって、$\ell$ と $m$ が交点をもつための必要十分条件は

$$ t\neq 0 $$

である。

次に、交点を $P(x,y)$ とおく。

点 $P$ は $m$ 上にあるので、

$$ y=-x+2t $$

より

$$ x+y=2t $$

したがって

$$ t=\frac{x+y}{2} $$

である。

また、点 $P(x,y)$ は直線 $\ell$ 上にある。直線 $\ell$ は点 $A(-3,1)$ と $B(t-1,t-1)$ を通るので、ベクトル

$$ \overrightarrow{AB}=(t+2,t-2) $$

と

$$ \overrightarrow{AP}=(x+3,y-1) $$

は平行である。よって

$$ (t+2)(y-1)-(t-2)(x+3)=0 $$

が成り立つ。

ここに

$$ t=\frac{x+y}{2} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{x+y}{2}+2\right)(y-1) &= \left(\frac{x+y}{2}-2\right)(x+3)=0 \end{aligned} $$

である。両辺に $2$ を掛けて整理すると、

$$ (x+y+4)(y-1)-(x+y-4)(x+3)=0 $$

となる。

展開すると、

$$ xy+y^2+3y-x-4-{x^2+xy-x+3y-12}=0 $$

であるから、

$$ y^2-x^2+8=0 $$

すなわち

$$ x^2-y^2=8 $$

を得る。

逆に、点 $(x,y)$ が

$$ x^2-y^2=8 $$

を満たすとする。このとき

$$ (x-y)(x+y)=8 $$

であるから、特に

$$ x+y\neq 0 $$

である。よって

$$ t=\frac{x+y}{2} $$

とおけば $t\neq 0$ である。

この $t$ に対して、上の計算を逆にたどれば、点 $(x,y)$ は $m$ 上にあり、かつ $A,B$ を通る直線 $\ell$ 上にもある。したがって、この点は条件を満たす交点として実現される。

よって、求める軌跡は

$$ x^2-y^2=8 $$

である。

解説

この問題では、まず「交点をもたない場合」を正確に見つけることが重要である。$m$ の傾きは常に $-1$ なので、$\ell$ の傾きが $-1$ になる場合を調べればよいが、$t=-2$ では $\ell$ が鉛直線になるため、傾きの式だけで一括処理すると不十分である。

軌跡では、交点 $P(x,y)$ が $m$ 上にあることから $t$ を

$$ t=\frac{x+y}{2} $$

と表し、さらに $P$ が $\ell$ 上にある条件を代入して消去する。直線上にある条件を、傾きではなくベクトルの平行条件で書くと、$t=-2$ の鉛直線の場合も同時に扱える。

答え

(1)

$$ t\neq 0 $$

(2)

$$ x^2-y^2=8 $$