数学C 放物線 問題 1 解説

方針・初手

軸が $y=2$ であるから、放物線は横向きである。標準形

$$ (y-2)^2=4p(x-h) $$

とおき、準線の条件から $h$ と $p$ の関係を決める。さらに、与えられた直線を代入したときに交点が重解になることを利用する。

解法1

横向きの放物線

$$ (y-2)^2=4p(x-h) $$

を考える。ただし $p \neq 0$ である。

この放物線の焦点は $(h+p,2)$、準線は

$$ x=h-p $$

である。準線が $x=\dfrac{17}{4}$ であるから、

$$ h-p=\frac{17}{4} $$

すなわち

$$ h=\frac{17}{4}+p $$

である。

したがって、放物線の方程式は

$$ (y-2)^2=4p\left(x-\frac{17}{4}-p\right) $$

と表せる。

この放物線が直線

$$ y=-\frac{1}{2}x+6 $$

に接する条件を考える。直線上では

$$ y-2=-\frac{1}{2}x+4=\frac{8-x}{2} $$

であるから、これを放物線に代入すると

$$ \left(\frac{8-x}{2}\right)^2=4p\left(x-\frac{17}{4}-p\right) $$

となる。両辺に $4$ をかけて整理すると、

$$ (x-8)^2=16p\left(x-\frac{17}{4}-p\right) $$

$$ x^2-16x+64=16px-68p-16p^2 $$

より、

$$ x^2-(16+16p)x+64+68p+16p^2=0 $$

を得る。

直線が放物線に接するとは、この $x$ についての二次方程式が重解をもつことである。したがって判別式を $0$ として、

$$ {-(16+16p)}^2-4(64+68p+16p^2)=0 $$

すなわち

$$ 256(1+p)^2-4(64+68p+16p^2)=0 $$

である。これを整理すると、

$$ 256+512p+256p^2-256-272p-64p^2=0 $$

$$ 240p+192p^2=0 $$

$$ 48p(5+4p)=0 $$

となる。

$p=0$ は放物線にならないので除く。よって

$$ p=-\frac{5}{4} $$

である。

このとき

$$ h=\frac{17}{4}-\frac{5}{4}=3 $$

だから、求める放物線は

$$ (y-2)^2=4\left(-\frac{5}{4}\right)(x-3) $$

すなわち

$$ (y-2)^2=-5(x-3) $$

である。

解説

準線と軸が与えられているので、放物線を標準形で置くのが最も自然である。軸が $y=2$ であることから、縦向きではなく横向きの放物線である点に注意する。

接する条件は「連立したときに重解をもつ」と言い換えられる。ここでは直線を代入して $x$ の二次方程式を作り、その判別式を $0$ とした。

また、計算の途中で $p=0$ が現れるが、これは放物線を表さない退化した場合であるため除外する必要がある。

答え

$$ (y-2)^2=-5(x-3) $$