数学C 放物線 問題 2 解説

方針・初手

円の中心は $x$ 軸上にあるので、中心を $(a,0)$ とおく。放物線 $y^2=4kx$ の焦点は $(k,0)$ であるから、この点を通る円の方程式は $a$ を用いて表せる。

共有点で接線が一致する条件は、「その共有点での放物線の接線」と「円の接線」が同じになることである。放物線上の点を媒介変数で表し、円の半径が接線に垂直であることを用いる。

解法1

放物線

$$ y^2=4kx $$

の焦点は $(k,0)$ である。

円の中心を $(a,0)$ とおくと、この円は焦点 $(k,0)$ を通るから、半径は $|a-k|$ である。したがって円の方程式は

$$ (x-a)^2+y^2=(a-k)^2 $$

と表せる。

放物線上の点を

$$ P=(kt^2,2kt) $$

とおく。この点における放物線の接線は

$$ ty=x+kt^2 $$

である。

まず、$t=0$ の場合を考える。このとき $P=(0,0)$ であり、放物線の接線は

$$ x=0 $$

である。円も $P=(0,0)$ を通る必要があるので、

$$ a^2=(a-k)^2 $$

より

$$ a=\frac{k}{2} $$

を得る。したがって、このときの円は

$$ \left(x-\frac{k}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{k}{2}\right)^2 $$

であり、整理すると

$$ x^2+y^2-kx=0 $$

である。この円の中心は $\left(\frac{k}{2},0\right)$ であり、点 $(0,0)$ における半径は $x$ 軸方向であるから、接線は $x=0$ となり、放物線の接線と一致する。

次に、$t\ne 0$ の場合を考える。

点 $P=(kt^2,2kt)$ における接線の方向ベクトルは $(t,1)$ とみなせる。一方、円の中心 $(a,0)$ から点 $P$ へ向かう半径ベクトルは

$$ (kt^2-a,2kt) $$

である。

円の接線は半径に垂直であるから、接線が一致するための条件は

$$ (kt^2-a,2kt)\cdot (t,1)=0 $$

である。これより

$$ (kt^2-a)t+2kt=0 $$

となる。$t\ne 0$ であるから、両辺を $t$ で割って

$$ kt^2-a+2k=0 $$

すなわち

$$ a=k(t^2+2) $$

を得る。

さらに、点 $P$ が円上にある必要があるので、

$$ (kt^2-a)^2+(2kt)^2=(a-k)^2 $$

である。ここに $a=k(t^2+2)$ を代入すると、

$$ {-2k}^2+4k^2t^2={k(t^2+1)}^2 $$

すなわち

$$ 4k^2(1+t^2)=k^2(t^2+1)^2 $$

である。$k>0$ かつ $t^2+1>0$ より、

$$ 4=t^2+1 $$

したがって

$$ t^2=3 $$

となる。

このとき

$$ a=k(3+2)=5k $$

であるから、円の方程式は

$$ (x-5k)^2+y^2=(5k-k)^2 $$

すなわち

$$ (x-5k)^2+y^2=16k^2 $$

である。

対応する接点は

$$ t=\pm\sqrt{3} $$

より

$$ P=(3k,\pm 2\sqrt{3}k) $$

である。

したがって、求める円は

$$ x^2+y^2-kx=0 $$

および

$$ (x-5k)^2+y^2=16k^2 $$

である。

次に、それぞれの共通接線を求める。

円

$$ x^2+y^2-kx=0 $$

は放物線と点 $(0,0)$ で接し、そのときの共通接線は

$$ x=0 $$

である。

また、円

$$ (x-5k)^2+y^2=16k^2 $$

については、接点に対応する媒介変数が $t=\pm\sqrt{3}$ である。放物線の接線の式

$$ ty=x+kt^2 $$

に代入する。

(i)

$t=\sqrt{3}$ のとき

$$ \sqrt{3}y=x+3k $$

より

$$ x-\sqrt{3}y+3k=0 $$

である。

(ii)

$t=-\sqrt{3}$ のとき

$$ -\sqrt{3}y=x+3k $$

より

$$ x+\sqrt{3}y+3k=0 $$

である。

したがって、この円と放物線の共通接線は

$$ x-\sqrt{3}y+3k=0,\qquad x+\sqrt{3}y+3k=0 $$

である。

解説

この問題では、円を一般形で置くよりも、中心が $x$ 軸上にあり焦点を通るという条件から

$$ (x-a)^2+y^2=(a-k)^2 $$

と置くのが自然である。

また、放物線 $y^2=4kx$ では、点 $(kt^2,2kt)$ と接線 $ty=x+kt^2$ を用いると、接点と接線を同時に扱える。ただし $t=0$ は頂点であり、接線が $x=0$ になるため、$t\ne 0$ の場合と分けて考える必要がある。

特にこの問題では、頂点で接する円

$$ x^2+y^2-kx=0 $$

を落としやすい。$t\ne 0$ の計算だけで進めると、もう一つの円

$$ (x-5k)^2+y^2=16k^2 $$

しか得られないので注意が必要である。

答え

(1)

求める円は

$$ x^2+y^2-kx=0 $$

および

$$ (x-5k)^2+y^2=16k^2 $$

である。

(2)

それぞれの共通接線は、円 $x^2+y^2-kx=0$ に対して

$$ x=0 $$

であり、円 $(x-5k)^2+y^2=16k^2$ に対して

$$ x-\sqrt{3}y+3k=0,\qquad x+\sqrt{3}y+3k=0 $$

である。