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数学C 放物線問題 4 解説

方針・初手

接点では放物線と円の接線の傾きが一致する。まず上側の接点を $(x,y)$ とおき、傾きの一致から接点の座標を求める。

回転体の体積は、図形の上半分を $x$ 軸のまわりに回転させると考え、水平な微小長方形による円筒殻で計算する。

解法1

上側の接点を $(x,y)$ とする。ただし $y>0$ である。

放物線 $C$ は

$$ y^2=4ax $$

であるから、両辺を $x$ で微分して

$$ 2y\frac{dy}{dx}=4a $$

より、接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{2a}{y} $$

である。

一方、円 $D$ は中心が $(1,0)$、半径が $r$ であるから

$$ (x-1)^2+y^2=r^2 $$

と表される。これを微分すると

$$ 2(x-1)+2y\frac{dy}{dx}=0 $$

より、接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{x-1}{y} $$

である。

接点では共通の接線をもつので、これらの傾きが等しい。したがって

$$ \frac{2a}{y}=-\frac{x-1}{y} $$

である。$y>0$ より両辺に $y$ をかけて

$$ 2a=1-x $$

となるから

$$ x=1-2a $$

を得る。

これを放物線の方程式に代入すると

$$ y^2=4a(1-2a) $$

である。$0<a<\dfrac12$ より $1-2a>0$ なので、上側の接点は

$$ \left(1-2a,\ 2\sqrt{a(1-2a)}\right) $$

である。

よって半径 $r$ は、円の中心 $(1,0)$ から接点までの距離であるから

$$ \begin{aligned} r^2 &=(1-2a-1)^2+\left\{2\sqrt{a(1-2a)}\right\}^2 \\ &=4a^2+4a(1-2a) \\ &=4a(1-a) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ r=2\sqrt{a(1-a)} $$

である。

次に、囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求める。

上側の接点の $y$ 座標を

$$ y_0=2\sqrt{a(1-2a)} $$

とおく。

図形の上半分において、$0\le y\le y_0$ とする。このとき左側の境界は放物線

$$ x=\frac{y^2}{4a} $$

であり、右側の境界は円の左側の弧

$$ x=1-\sqrt{r^2-y^2} $$

である。

したがって、高さ $y$ における水平線分の長さは

$$ 1-\sqrt{r^2-y^2}-\frac{y^2}{4a} $$

である。これを $x$ 軸のまわりに回転させると、半径 $y$ の円筒殻をつくるので、体積 $V$ は

$$ V=2\pi\int_0^{y_0} y\left(1-\sqrt{r^2-y^2}-\frac{y^2}{4a}\right),dy $$

である。

ここで

$$ r^2=4a(1-a),\qquad y_0^2=4a(1-2a) $$

であり、

$$ r^2-y_0^2=4a^2 $$

である。よって

$$ \begin{aligned} V &=2\pi\left[ \frac{y_0^2}{2} +\frac{(r^2-y_0^2)^{3/2}-r^3}{3} -\frac{y_0^4}{16a} \right] \\ &=2\pi\left[ 2a(1-2a) +\frac{8a^3-8{a(1-a)}^{3/2}}{3} -a(1-2a)^2 \right] \end{aligned} $$

となる。

これを整理する。

$$ 2a(1-2a)-a(1-2a)^2 =a-4a^3 $$

より、

$$ \begin{aligned} V &=2\pi\left[ a-4a^3+\frac{8a^3}{3} -\frac{8{a(1-a)}^{3/2}}{3} \right] \\ &=2\pi\left[ a-\frac{4}{3}a^3 -\frac{8}{3}{a(1-a)}^{3/2} \right] \\ &=\frac{2\pi}{3}\left\{ 3a-4a^3-8{a(1-a)}^{3/2} \right\} \end{aligned} $$

である。