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数学C 放物線問題 5 解説

方針・初手

放物線 $y^2=4px$ 上の点は

$$ P(t)=(pt^2,2pt) $$

とおける。$y$ 座標の大小はそのまま $t$ の大小に対応する。

焦点は $F=(p,0)$ である。焦点を通る弦の両端のパラメータには積が $-1$ になるという関係があるので，まず $A=P(a)$ とおき，$C=P(-1/a)$ と表す。さらに $BD$ が $AC$ に垂直である条件を用いる。

解法1

放物線上の点を

$$ P(t)=(pt^2,2pt) $$

とおく。焦点は

$$ F=(p,0) $$

である。

点 $P(t)$ に対して

$$ \overrightarrow{FP(t)} = (p(t^2-1),2pt) $$

であるから，焦点からの距離は

$$ FP(t) = \sqrt{p^2(t^2-1)^2+4p^2t^2} = p(t^2+1) $$

である。

$A=P(a),B=P(b),C=P(c),D=P(d)$ とおく。$y$ 座標の小さい順に $A,B,C,D$ であるから

$$ a<b<c<d $$

である。

$AC$ が焦点 $F$ を通る条件を求める。点 $P(t)$ と $F$ を結ぶ直線の傾きは

$$ \frac{2pt}{p(t^2-1)}=\frac{2t}{t^2-1} $$

である。したがって，$P(a)$ と $P(c)$ が焦点を通る同一直線上にあるには

$$ \frac{2a}{a^2-1}=\frac{2c}{c^2-1} $$

である。$a\neq c$ より，

$$ ac=-1 $$

を得る。よって

$$ c=-\frac{1}{a} $$

である。同様に

$$ bd=-1,\qquad d=-\frac{1}{b} $$

である。

次に，$AC$ と $BD$ が垂直である条件を用いる。$AC$ の傾きは

$$ \frac{2a}{a^2-1} $$

であり，$BD$ の傾きは

$$ \frac{2b}{b^2-1} $$

であるから，

$$ \frac{2a}{a^2-1}\cdot \frac{2b}{b^2-1}=-1 $$

である。すなわち

$$ 4ab=-(a^2-1)(b^2-1) $$

である。

これは

$$ (ab-a+b+1)(ab+a-b+1)=0 $$

と因数分解できる。

ここで $a<b<c<d$ であり，$c=-1/a,\ d=-1/b$ である。順序を満たす方を選ぶと，$a<-1,\ -1<b<0$ となり，

$$ ab+a-b+1=0 $$

を用いることになる。よって

$$ b=\frac{a+1}{1-a} $$

である。

(1)

$A=P(a)$ について

$$ \overrightarrow{FA} = (p(a^2-1),2pa) $$

である。上で見たように $a<-1$ なので，$\overrightarrow{FA}$ は第4象限の向きであり，$x$ 軸の正の方向となす角を $\theta$ とすると

$$ \cos\theta = \frac{p(a^2-1)}{p(a^2+1)} = \frac{a^2-1}{a^2+1} $$

である。

したがって

$$ 1-\cos\theta = 1-\frac{a^2-1}{a^2+1} = \frac{2}{a^2+1} $$

より，

$$ a^2+1=\frac{2}{1-\cos\theta} $$

である。ゆえに

$$ AF=p(a^2+1)=\frac{2p}{1-\cos\theta} $$

である。

(2)

まず，$A=P(a),C=P(-1/a)$ であるから，

$$ AF=p(a^2+1) $$

であり，

$$ CF = p\left(\frac{1}{a^2}+1\right) = \frac{p(a^2+1)}{a^2} $$

である。したがって

$$ AF\cdot CF = p(a^2+1)\cdot \frac{p(a^2+1)}{a^2} = \frac{p^2(a^2+1)^2}{a^2} $$

より，

$$ \frac{1}{AF\cdot CF} = \frac{a^2}{p^2(a^2+1)^2} $$

である。

同様に，$B=P(b),D=P(-1/b)$ であるから，

$$ \frac{1}{BF\cdot DF} = \frac{b^2}{p^2(b^2+1)^2} $$

である。

ここで

$$ b=\frac{a+1}{1-a} $$

を代入する。まず

$$ b^2=\frac{(a+1)^2}{(1-a)^2} $$

であり，

$$ b^2+1 = \frac{(a+1)^2+(1-a)^2}{(1-a)^2} = \frac{2(a^2+1)}{(1-a)^2} $$

である。よって

$$ \frac{b^2}{(b^2+1)^2} = \frac{\dfrac{(a+1)^2}{(1-a)^2}} {\left\{\dfrac{2(a^2+1)}{(1-a)^2}\right\}^2} = \frac{(a+1)^2(1-a)^2}{4(a^2+1)^2} = \frac{(a^2-1)^2}{4(a^2+1)^2} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{AF\cdot CF}+\frac{1}{BF\cdot DF} &= \frac{1}{p^2} \left\{ \frac{a^2}{(a^2+1)^2} + \frac{(a^2-1)^2}{4(a^2+1)^2} \right\} \\ &= \frac{1}{p^2} \cdot \frac{4a^2+(a^2-1)^2}{4(a^2+1)^2} \\ &= \frac{1}{p^2} \cdot \frac{a^4+2a^2+1}{4(a^2+1)^2} \\ &= \frac{1}{4p^2}. \end{aligned} $$

これは $\theta$ を含まないので，$\theta$ によらず一定である。