数学C 放物線 問題 6 解説

方針・初手

焦点と準線からの距離が等しい点の軌跡は放物線である。まず、点 $(x,y)$ から定点 $(2,0)$ までの距離と、直線 $x=-2$ までの距離を等しいとおいて方程式を求める。

次に、点 $(-2,0)$ を通る直線を $y=m(x+2)$ とおき、放物線と接する条件を判別式で調べる。

解法1

点 $(x,y)$ から定点 $(2,0)$ までの距離は

$$ \sqrt{(x-2)^2+y^2} $$

である。また、点 $(x,y)$ から直線 $x=-2$ までの距離は

$$ |x+2| $$

である。

したがって、等距離である条件は

$$ \sqrt{(x-2)^2+y^2}=|x+2| $$

である。両辺を2乗すると、

$$ (x-2)^2+y^2=(x+2)^2 $$

となる。これを展開して整理する。

$$ x^2-4x+4+y^2=x^2+4x+4 $$

よって、

$$ y^2=8x $$

である。したがって、軌跡 $C$ の方程式は

$$ x-\frac{y^2}{8}=0 $$

である。

次に、点 $(-2,0)$ を通る直線の傾きを $m$ とすると、その直線は

$$ y=m(x+2) $$

と表せる。

これが放物線 $y^2=8x$ に接する条件を求める。代入すると、

$$ m^2(x+2)^2=8x $$

すなわち

$$ m^2x^2+(4m^2-8)x+4m^2=0 $$

となる。

接するためには、この $x$ についての2次方程式が重解をもてばよい。判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &=(4m^2-8)^2-4m^2\cdot 4m^2 \\ &=16(m^2-2)^2-16m^4 \\ &=16(m^4-4m^2+4-m^4) \\ &=64(1-m^2) \end{aligned} $$

である。接する条件は $D=0$ であるから、

$$ 64(1-m^2)=0 $$

より

$$ m^2=1 $$

したがって、

$$ m=\pm 1 $$

である。

解説

この問題では、放物線を「焦点と準線から等距離にある点の集合」として定義から求めるのが自然である。距離を等しいとおいたあと、絶対値を含むが、両辺が距離で非負なので2乗して処理できる。

接線の傾きは、外部の点 $(-2,0)$ を通る直線を一般に $y=m(x+2)$ とおき、放物線との共有点が重なる条件を使う。判別式 $D=0$ が接線条件である。

答え

$$ \boxed{⑥=-\frac{y^2}{8}} $$

$$ \boxed{⑦=\pm 1} $$