数学C 極方程式 問題 1 解説

方針・初手

極方程式から直交座標の式に直すには、$x=r\cos\theta$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を用いる。ただし、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ として扱うときは、平方して得た式のうち、元の極方程式に対応する枝だけを選ぶ必要がある。

また、(2) は $k=\dfrac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PH}}$ が一定になる直線 $x=a$ を探す問題であり、(1) で得られる式

$$ 2r+\sqrt{6}x=\sqrt{6} $$

をそのまま使うとよい。

解法1

極方程式

$$ r=\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}\cos\theta} $$

の両辺に $2+\sqrt{6}\cos\theta$ をかけると、

$$ 2r+\sqrt{6}r\cos\theta=\sqrt{6} $$

である。ここで $x=r\cos\theta$ より、

$$ 2r+\sqrt{6}x=\sqrt{6} $$

となる。したがって

$$ 2\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{6}(1-x) $$

である。左辺は $0$ 以上であるから、元の曲線上では

$$ 1-x\geqq 0 $$

すなわち $x\leqq 1$ が必要である。

両辺を平方すると、

$$ 4(x^2+y^2)=6(1-x)^2 $$

となる。整理して

$$ 4x^2+4y^2=6x^2-12x+6 $$

より、

$$ x^2-2y^2-6x+3=0 $$

を得る。平方完成すると、

$$ (x-3)^2-2y^2=6 $$

である。したがって

$$ \frac{(x-3)^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1 $$

となる。

これは中心 $(3,0)$、頂点 $(3\pm\sqrt{6},0)$ をもつ双曲線である。ただし、元の式では $x\leqq 1$ でなければならないため、対応するのは左側の枝だけである。すなわち概形は、頂点

$$ (3-\sqrt{6},0) $$

をもち、左向きに開く双曲線の一枝である。

漸近線は

$$ y=\pm\frac{x-3}{\sqrt{2}} $$

である。また、$y$ 軸との交点は、$x=0$ を代入して

$$ 9-2y^2=6 $$

より、

$$ y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2} $$

である。

次に (2) を考える。点 $P(x,y)$ がこの曲線上を動くとき、

$$ \mathrm{OP}=r $$

である。また、点 $P$ から直線 $x=a$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、

$$ \mathrm{PH}=|a-x| $$

である。

一方、先ほど得た式

$$ 2r+\sqrt{6}x=\sqrt{6} $$

より、

$$ r=\frac{\sqrt{6}}{2}(1-x) $$

である。曲線上では $x\leqq 3-\sqrt{6}<1$ だから、$1-x>0$ である。

ここで $k$ が一定になるためには、

$$ k=\frac{r}{|a-x|} =\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}(1-x)}{|a-x|} $$

が $x$ によらず一定でなければならない。

もし $a\leqq 3-\sqrt{6}$ なら、曲線上に $x=a$ となる点が存在し、その点では $\mathrm{PH}=0$ となるので、$k$ は定義できない。したがって

$$ a>3-\sqrt{6} $$

でなければならない。

このとき曲線上のすべての点で $x\leqq 3-\sqrt{6}<a$ だから、

$$ |a-x|=a-x $$

である。よって

$$ k=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\frac{1-x}{a-x} $$

となる。これが $x$ によらず一定であるためには、

$$ \frac{1-x}{a-x} $$

が一定でなければならない。

ここで、$x$ が変化する区間は一点ではないので、関数

$$ \frac{1-x}{a-x} $$

が定数となるには分子と分母が一致する必要がある。したがって

$$ a=1 $$

である。

実際、$a=1$ のとき、

$$ \mathrm{PH}=1-x $$

であり、

$$ \mathrm{OP}=r=\frac{\sqrt{6}}{2}(1-x) $$

だから、

$$ k=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PH}} =\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}(1-x)}{1-x} =\frac{\sqrt{6}}{2} $$

となり、一定である。

解説

この問題の要点は、極方程式を直交座標の方程式に直すとき、単に平方して終わらせないことである。平方して得られる

$$ \frac{(x-3)^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1 $$

は双曲線全体を表すが、元の極方程式に対応するのはその左側の枝だけである。

(2) は円錐曲線の焦点・準線の性質そのものである。式

$$ r=\frac{\sqrt{6}}{2}(1-x) $$

は、原点からの距離 $\mathrm{OP}$ が直線 $x=1$ までの距離の $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ 倍であることを表している。したがって、原点を焦点、直線 $x=1$ を準線とする双曲線の一枝である。

答え

(1)

直交座標に関する方程式は

$$ x^2-2y^2-6x+3=0 $$

すなわち

$$ \frac{(x-3)^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1 $$

である。ただし、元の極方程式に対応するのは左側の枝であり、

$$ x\leqq 3-\sqrt{6} $$

である。

概形は、中心 $(3,0)$、左側の頂点 $(3-\sqrt{6},0)$ をもち、左向きに開く双曲線の一枝である。漸近線は

$$ y=\pm\frac{x-3}{\sqrt{2}} $$

である。

(2)

$$ a=1 $$

であり、そのとき

$$ k=\frac{\sqrt{6}}{2} $$

である。