数学C 極方程式 問題 2 解説

方針・初手

$z=x+iy$ とおき、$z^2$ が心臓形 $C$ 上を動く条件を $x,y$ で書き直す。

$z^2$ の実部・虚部を

$$ z^2=(x^2-y^2)+2xy,i $$

と表せるので、心臓形 $C$ の直交座標での条件に代入する。

解法1

$z^2=X+iY$ とおくと、

$$ X=x^2-y^2,\qquad Y=2xy $$

である。

心臓形 $C$ は極方程式

$$ r=2(1+\cos\theta) $$

で表される。ここで、$z^2=X+iY$ に対して

$$ r=\sqrt{X^2+Y^2},\qquad \cos\theta=\frac{X}{\sqrt{X^2+Y^2}} $$

である。

ただし、原点については最終的な式に含まれるため、まず $r>0$ として考える。

これを極方程式に代入すると、

$$ \sqrt{X^2+Y^2} = 2\left(1+\frac{X}{\sqrt{X^2+Y^2}}\right) $$

となる。両辺に $\sqrt{X^2+Y^2}$ をかけて、

$$ X^2+Y^2=2\sqrt{X^2+Y^2}+2X $$

を得る。

ここで $X=x^2-y^2,\ Y=2xy$ であるから、

$$ \begin{aligned} X^2+Y^2 &= (x^2-y^2)^2+(2xy)^2\\ &= (x^2+y^2)^2 \end{aligned} $$

である。また、

$$ \sqrt{X^2+Y^2}=x^2+y^2 $$

である。

したがって、

$$ (x^2+y^2)^2 = 2(x^2+y^2)+2(x^2-y^2) $$

となる。右辺を整理すると、

$$ 2(x^2+y^2)+2(x^2-y^2)=4x^2 $$

であるから、

$$ (x^2+y^2)^2=4x^2 $$

を得る。

ここで問題の条件より $x\geqq 0$ である。よって、

$$ x^2+y^2=2x $$

となる。

したがって、

$$ x^2-2x+y^2=0 $$

すなわち、

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

である。

この円は中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円であり、全体が $x\geqq 0$ の領域に含まれる。

解法2

$z$ 自身を極形式で

$$ z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi) $$

とおく。$x\geqq 0$ であるから、

$$ -\frac{\pi}{2}\leqq \varphi\leqq \frac{\pi}{2} $$

としてよい。

このとき、

$$ z^2=\rho^2(\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi) $$

である。したがって、$z^2$ の極座標は

$$ r=\rho^2,\qquad \theta=2\varphi $$

である。

$z^2$ が心臓形 $C$ 上にあるためには、

$$ \rho^2=2(1+\cos 2\varphi) $$

が成り立てばよい。

倍角公式より、

$$ 1+\cos 2\varphi=2\cos^2\varphi $$

であるから、

$$ \rho^2=4\cos^2\varphi $$

となる。

$x\geqq 0$ なので $\cos\varphi\geqq 0$ であり、

$$ \rho=2\cos\varphi $$

である。

一方、$x=\rho\cos\varphi$ だから、

$$ \rho^2=2\rho\cos\varphi=2x $$

となる。よって、

$$ x^2+y^2=2x $$

すなわち、

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

である。

解説

この問題の核心は、写像 $z\mapsto z^2$ によって偏角が $2$ 倍、絶対値が $2$ 乗になることである。

特に、$z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ とすると、$z^2$ は

$$ r=\rho^2,\qquad \theta=2\varphi $$

となる。心臓形

$$ r=2(1+\cos\theta) $$

に $\theta=2\varphi$ を入れると、倍角公式によって

$$ \rho^2=4\cos^2\varphi $$

となり、右半平面 $x\geqq 0$ では $\rho=2\cos\varphi$ と取れる。

これは直交座標では

$$ x^2+y^2=2x $$

であり、円

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

を表す。

右半平面という条件があるため、平方根を取るときに符号が決まる点が重要である。

答え

$$ \boxed{(x-1)^2+y^2=1} $$