数学C 極方程式 問題 4 解説

方針・初手

極方程式を直交座標に直すには、

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r^2=x^2+y^2 $$

を用いる。特に $r^2\cos^2\theta=x^2$ となるので、これをそのまま代入すればよい。

解法1

与えられた極方程式は

$$ r^2(7\cos^2\theta+9)=144 $$

である。左辺を分配すると、

$$ 7r^2\cos^2\theta+9r^2=144 $$

となる。

ここで

$$ r^2\cos^2\theta=(r\cos\theta)^2=x^2 $$

また

$$ r^2=x^2+y^2 $$

であるから、代入して

$$ 7x^2+9(x^2+y^2)=144 $$

を得る。整理すると、

$$ 16x^2+9y^2=144 $$

したがって、直交座標に関する方程式は

$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 $$

である。

これは原点を中心とする楕円であり、$x$ 軸方向の半径は $3$、$y$ 軸方向の半径は $4$ である。したがって、$y$ 軸方向に長い楕円になる。

交点は

$$ (\pm 3,0),\qquad (0,\pm 4) $$

である。

解説

極方程式から直交座標の方程式へ変換するときは、$\cos\theta$ を単独で扱うよりも、$r^2\cos^2\theta$ の形を利用するのが自然である。

この問題では

$$ r^2\cos^2\theta=x^2 $$

がそのまま現れるため、分母を含む変形をせずに直交座標へ移せる。変形後の

$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 $$

は楕円の標準形であり、分母が大きい $y$ 軸方向が長軸となる。

答え

直交座標に関する方程式は

$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 $$

である。

概形は、原点を中心とし、$(\pm3,0)$、$(0,\pm4)$ を通る、$y$ 軸方向に長い楕円である。