数学C 極方程式 問題 5 解説

方針・初手

極座標では

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta $$

とおく。円は $x^2+y^2=r^2$ を用い、直線は $x,y$ を $r,\theta$ で置き換えてから、三角関数の合成により余弦で表す。

解法1

円 $x^2+y^2=1$ について、

$$ x^2+y^2=(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2 =r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2 $$

であるから、

$$ r^2=1 $$

となる。極座標で $r\geqq 0$ とすれば、

$$ r=1 $$

である。

次に、直線 $y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ に $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を代入すると、

$$ r\sin\theta=-\sqrt{3}r\cos\theta+\sqrt{3} $$

すなわち

$$ r(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)=\sqrt{3} $$

となる。ここで

$$ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta =2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right) $$

であるから、直線の極方程式は

$$ 2r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} $$

すなわち

$$ r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

交点では円の極方程式 $r=1$ も満たすので、

$$ \cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となる。したがって

$$ \theta-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi $$

より、

$$ \theta=0+2k\pi,\qquad \theta=\frac{\pi}{3}+2k\pi $$

である。

よって、$0\leqq\theta<2\pi$ で表すと、交点の極座標は

$$ (1,0),\qquad \left(1,\frac{\pi}{3}\right) $$

である。

解説

直線を極座標で表すときは、単に $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を代入するだけでよい。その後、

$$ a\cos\theta+b\sin\theta $$

の形が出たら、三角関数の合成を使う。

今回の直線では

$$ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta $$

が現れるため、余弦で表すには

$$ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta =2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right) $$

を用いるのが自然である。

交点は、円の極方程式 $r=1$ を直線の極方程式に代入して求めればよい。直交座標で交点を求めてから極座標に変換する方法もあるが、この問題では極方程式を使う方が流れがよい。

答え

(1)

$$ r=1 $$

(2)

$$ r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

または

$$ r=\frac{\sqrt{3}}{2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)} $$

(3)

$$ (1,0),\qquad \left(1,\frac{\pi}{3}\right) $$