数学C 極方程式 問題 11 解説

方針・初手

等式 $z\overline{w}=\overline{z}w$ は、$z\overline{w}$ が実数であることを意味する。これは複素数平面で見れば、原点から $z$ へ向かうベクトルと、原点から $w$ へ向かうベクトルが平行であることを表す。

その後、$z$ の極形式 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ を用いて、条件 $|z-1|=1$ から $r$ を決める。

解法1

$z\overline{w}=\overline{z}w$ より、

$$ z\overline{w}=\overline{z\overline{w}} $$

であるから、$z\overline{w}$ は実数である。

$z=x+yi,\ w=u+vi$ とおくと、

$$ z\overline{w}=(x+yi)(u-vi)=xu+yv+i(yu-xv) $$

である。これが実数であるため、

$$ yu-xv=0 $$

が成り立つ。

これはベクトル $(x,y)$ と $(u,v)$ が平行であることを意味する。したがって、複素数平面において $0,z,w$ は一直線上にある。

なお、$w=0$ の場合も、点 $0$ と $w$ は一致するので、$0,z,w$ は一直線上にある。

次に、$z$ の偏角を $\theta$ とするので、

$$ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta} $$

とおく。ただし $z\ne0$ より $r>0$ である。

条件 $|z-1|=1$ より、

$$ |re^{i\theta}-1|^2=1 $$

である。左辺を計算すると、

$$ \begin{aligned} |re^{i\theta}-1|^2 &=(r\cos\theta-1)^2+(r\sin\theta)^2 \\ &=r^2\cos^2\theta-2r\cos\theta+1+r^2\sin^2\theta \\ &=r^2-2r\cos\theta+1 \end{aligned} $$

であるから、

$$ r^2-2r\cos\theta+1=1 $$

すなわち

$$ r(r-2\cos\theta)=0 $$

を得る。

$r>0$ なので、

$$ r=2\cos\theta $$

である。したがって、

$$ z=2\cos\theta(\cos\theta+i\sin\theta) $$

である。

また、$0,z,w$ は一直線上にあるから、ある実数 $s$ を用いて

$$ w=se^{i\theta} $$

と表せる。ただし、$s$ は負でもよい。

条件 $|z-w|=2$ より、

$$ |2\cos\theta e^{i\theta}-se^{i\theta}|=2 $$

である。$|e^{i\theta}|=1$ だから、

$$ |2\cos\theta-s|=2 $$

となる。よって、

$$ s=2\cos\theta+2,\quad 2\cos\theta-2 $$

である。

したがって、

$$ w=(2\cos\theta+2)(\cos\theta+i\sin\theta) $$

または

$$ w=(2\cos\theta-2)(\cos\theta+i\sin\theta) $$

である。

以上より、

$$ z=2\cos\theta(\cos\theta+i\sin\theta) $$

$$ w=2(\cos\theta+1)(\cos\theta+i\sin\theta) $$

または

$$ w=2(\cos\theta-1)(\cos\theta+i\sin\theta) $$

である。

次に、$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ とする。このとき $\sin\theta\geqq0,\ \cos\theta>0$ である。

$w$ の虚部は、2通りに分けて

(i)

$w=2(\cos\theta+1)(\cos\theta+i\sin\theta)$ のとき

$$ \operatorname{Im}w=2(\cos\theta+1)\sin\theta $$

である。

(ii)

$w=2(\cos\theta-1)(\cos\theta+i\sin\theta)$ のとき

$$ \operatorname{Im}w=2(\cos\theta-1)\sin\theta $$

である。

$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos\theta-1\leqq0,\ \sin\theta\geqq0$ であるから、(ii) の虚部は $0$ 以下である。したがって、最大値を調べるには (i) の

$$ f(\theta)=2(1+\cos\theta)\sin\theta $$

を考えればよい。

これを微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(\theta) &=2{-\sin^2\theta+(1+\cos\theta)\cos\theta} \\ &=2(\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\ &=2(\cos\theta+\cos2\theta) \end{aligned} $$

である。

$f'(\theta)=0$ より、

$$ \cos\theta+\cos2\theta=0 $$

である。$c=\cos\theta$ とおくと、

$$ c+2c^2-1=0 $$

すなわち

$$ 2c^2+c-1=0 $$

である。これを解くと、

$$ (2c-1)(c+1)=0 $$

より、

$$ c=\frac{1}{2},\ -1 $$

である。

$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos\theta>0$ なので、

$$ \cos\theta=\frac{1}{2} $$

である。したがって、

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

を得る。

このとき、

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) =2\left(1+\frac12\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{2} $$

である。

また、端では $f(0)=0$ であり、$\theta\to\dfrac{\pi}{2}-0$ のとき $f(\theta)\to2$ である。したがって最大値は

$$ \frac{3\sqrt3}{2} $$

である。

解説

条件 $z\overline{w}=\overline{z}w$ は、複素数の計算として見るよりも、$z\overline{w}$ が実数であるという形に直すのが自然である。これは原点から見た $z$ と $w$ の方向が同じ、または反対であることを表す。

$|z-1|=1$ は、中心 $1$、半径 $1$ の円である。極形式 $z=re^{i\theta}$ を代入すると $r=2\cos\theta$ が得られるため、以後は $w$ も同じ直線上にあることを利用して $w=se^{i\theta}$ とおけばよい。

最後の最大値では、$w$ が2通りある点を落とさないことが重要である。ただし $0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では一方の虚部は常に $0$ 以下なので、正の側だけを最大化すればよい。

答え

(1)

$0,z,w$ は一直線上にある。

(2)

$$ z=2\cos\theta(\cos\theta+i\sin\theta) $$

$$ w=2(\cos\theta+1)(\cos\theta+i\sin\theta) $$

または

$$ w=2(\cos\theta-1)(\cos\theta+i\sin\theta) $$

(3)

$w$ の虚部の最大値は

$$ \frac{3\sqrt3}{2} $$

である。