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数学C 極方程式問題 10 解説

方針・初手

$z=x+iy$ とおくと，$\overline{z}=x-iy$ である。まず方程式 $(*)$ を $x,y$ の一次方程式に直し，複素数平面上の直線として扱う。

その後，正三角形や直角二等辺三角形の条件は，直線上の点の位置関係として処理する。

解法1

$z=x+iy$ とおく。このとき $\overline{z}=x-iy$ であるから，

$$ \begin{aligned} &(1-\sqrt{3}i)z+(1+\sqrt{3}i)\overline{z} \\ &=(1-\sqrt{3}i)(x+iy)+(1+\sqrt{3}i)(x-iy) \\ &=2x+2\sqrt{3}y \end{aligned} $$

である。したがって，方程式 $(*)$ は

$$ 2x+2\sqrt{3}y=2\sqrt{3} $$

すなわち

$$ x+\sqrt{3}y=\sqrt{3} $$

を表す。

まず $z=x_0$，すなわち $y=0$ のとき，

$$ x_0=\sqrt{3} $$

である。よって，$\boxed{\text{ア}=\sqrt{3}}$ である。

次に $z=iy_0$，すなわち $x=0$ のとき，

$$ \sqrt{3}y_0=\sqrt{3} $$

より，

$$ y_0=1 $$

である。よって，$\boxed{\text{イ}=1}$ である。

また，

$$ z=sx_0+ity_0=s\sqrt{3}+it $$

であるから，この点の実部と虚部はそれぞれ

$$ x=s\sqrt{3},\qquad y=t $$

である。これを直線 $x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}$ に代入すると，

$$ s\sqrt{3}+\sqrt{3}t=\sqrt{3} $$

となる。よって，

$$ s+t=1 $$

である。したがって，$\boxed{\text{ウ}:s+t=1}$ である。

次に，方程式 $(*)$ を満たす $z$ のうち $|z|$ が最小となる点を求める。これは原点から直線

$$ x+\sqrt{3}y=\sqrt{3} $$

に下ろした垂線の足である。

直線 $ax+by=c$ における原点からの垂線の足は

$$ \left(\frac{ac}{a^2+b^2},\frac{bc}{a^2+b^2}\right) $$

である。ここでは $a=1,\ b=\sqrt{3},\ c=\sqrt{3}$ なので，垂線の足は

$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right) $$

である。よって，

$$ z=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}i $$

のとき $|z|$ は最小となる。したがって，

$$ |z|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{9}{16}} =\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。よって，

$$ \boxed{\text{エ}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}i},\qquad \boxed{\text{オ}=\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

である。

次に，$z_1,z_2$ がともに方程式 $(*)$ を満たし，$\triangle OZ_1Z_2$ が正三角形となる場合を考える。

直線

$$ x+\sqrt{3}y=\sqrt{3} $$

を $L$ とする。原点 $O$ から $L$ までの距離は，すでに求めた通り

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

$\triangle OZ_1Z_2$ が正三角形で，$Z_1,Z_2$ がともに直線 $L$ 上にあるとき，$Z_1Z_2$ は正三角形の一辺である。正三角形の一辺の長さを $a$ とすると，高さは

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}a $$

である。これが原点から直線 $L$ までの距離 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に等しいから，

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

より，

$$ a=1 $$

である。

原点から直線 $L$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると，

$$ H\left(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right) $$

である。また，直線 $L$ に平行な単位ベクトルとして

$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) $$

をとれる。したがって，$Z_1,Z_2$ は $H$ からこの方向に長さ $\frac{1}{2}$ だけ進んだ点と戻った点である。

よって，

$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4}\right) \pm \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) $$

を計算すると，

$$ (0,1),\qquad \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) $$

を得る。$z_1$ の実部は $z_2$ の実部より小さいので，

$$ z_1=i,\qquad z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i $$

である。したがって，

$$ \boxed{\text{カ}=i},\qquad \boxed{\text{キ}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i} $$

である。

最後に，$\triangle OZ_1Z_2$ が $\angle O=90^\circ$ の直角二等辺三角形となる場合を考える。

$\angle O=90^\circ$ で $OZ_1=OZ_2$ であるから，$z_2$ は $z_1$ を原点まわりに $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転した点である。

(i)

$z_2=iz_1$ の場合

$z_1=x+iy$ とすると，

$$ z_2=iz_1=-y+ix $$

である。$z_1,z_2$ はともに直線 $x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}$ 上にあるので，

$$ \begin{cases} x+\sqrt{3}y=\sqrt{3} \\ -y+\sqrt{3}x=\sqrt{3} \end{cases} $$

を満たす。これを解くと，

$$ x=\frac{3+\sqrt{3}}{4},\qquad y=\frac{3-\sqrt{3}}{4} $$

である。このとき $z_2$ の実部は

$$ -y=\frac{\sqrt{3}-3}{4} $$

となり，$z_1$ の実部より小さい。これは「$z_1$ の実部は $z_2$ の実部より小さい」という条件に反する。

(ii)

$z_2=-iz_1$ の場合

$z_1=x+iy$ とすると，

$$ z_2=-iz_1=y-ix $$

である。$z_1,z_2$ がともに直線 $x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}$ 上にあることから，

$$ \begin{cases} x+\sqrt{3}y=\sqrt{3} \\ y-\sqrt{3}x=\sqrt{3} \end{cases} $$

を満たす。これを解くと，

$$ x=\frac{\sqrt{3}-3}{4},\qquad y=\frac{\sqrt{3}+3}{4} $$

である。したがって，

$$ z_2=y-ix = \frac{\sqrt{3}+3}{4} +\frac{3-\sqrt{3}}{4}i $$

である。よって，$z_2$ の実部は

$$ \frac{3+\sqrt{3}}{4} $$

である。したがって，

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}} $$

である。

解説

この問題の中心は，複素数の方程式を実部・虚部に分けて，複素数平面上の直線として見ることである。

$(*)$ は一見すると $z$ と $\overline{z}$ を含む複素数の方程式であるが，$z=x+iy$ とおけば単なる直線

$$ x+\sqrt{3}y=\sqrt{3} $$

になる。したがって，以後は点がこの直線上にあるという条件として処理すればよい。

$|z|$ の最小は，原点から直線までの距離であり，対応する点は垂線の足である。正三角形の場合は，直線 $Z_1Z_2$ が正三角形の一辺になるため，原点から直線までの距離が正三角形の高さになる。直角二等辺三角形の場合は，原点を中心とする $90^\circ$ 回転，すなわち $z\mapsto iz$ または $z\mapsto -iz$ を使うと整理しやすい。