北海道大学 1963年 文系 第4問 解説

方針・初手

(1) は $x$ についての2次関数であるため、式を平方完成して頂点の座標を求めます。

(2) は (1) で得られた最小値 $M$ を $a$ の関数と捉え、与えられた定義域 $\frac{1}{3} \leqq a \leqq 1$ における増減を調べます。分母に $a$ を含むため、微分を用いて増減表を作成するのが確実です。

解法1

(1)

与えられた2次関数 $f(x)$ を $x$ について平方完成します。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^2 + (2a - 1)x + a^2 + a + \frac{1}{a} + 2 \\ &= \left( x + \frac{2a - 1}{2} \right)^2 - \left( \frac{2a - 1}{2} \right)^2 + a^2 + a + \frac{1}{a} + 2 \\ &= \left( x + \frac{2a - 1}{2} \right)^2 - \frac{4a^2 - 4a + 1}{4} + a^2 + a + \frac{1}{a} + 2 \\ &= \left( x + \frac{2a - 1}{2} \right)^2 - a^2 + a - \frac{1}{4} + a^2 + a + \frac{1}{a} + 2 \\ &= \left( x + \frac{2a - 1}{2} \right)^2 + 2a + \frac{1}{a} + \frac{7}{4} \end{aligned} $$

したがって、$f(x)$ は $x = -\frac{2a - 1}{2}$ のとき、最小値をとります。よって、求める最小値 $M$ は次のようになります。

$$ M = 2a + \frac{1}{a} + \frac{7}{4} $$

(2)

(1) より、$M$ は $a$ の関数 $M(a) = 2a + \frac{1}{a} + \frac{7}{4}$ と表せます。これを $a$ について微分して増減を調べます。

$$ M'(a) = 2 - \frac{1}{a^2} = \frac{2a^2 - 1}{a^2} $$

$M'(a) = 0$ とすると $2a^2 - 1 = 0$ となり、$a^2 = \frac{1}{2}$ を得ます。

定義域は $\frac{1}{3} \leqq a \leqq 1$ であり、この範囲における $a$ は正であるため、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

ここで、$\frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$ であり、$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}$ であることから、$\frac{1}{3} < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ を満たすことが分かります。

$M(a)$ の $\frac{1}{3} \leqq a \leqq 1$ における増減表は次のようになります。

$$ \begin{array}{c|ccccc} a & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & 1 \\ \hline M'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline M(a) & \frac{65}{12} & \searrow & 2\sqrt{2} + \frac{7}{4} & \nearrow & \frac{19}{4} \end{array} $$

増減表の端点の値と極小値をそれぞれ計算します。

$a = \frac{1}{3}$ のとき、

$$ M\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 + \frac{7}{4} = \frac{2}{3} + 3 + \frac{7}{4} = \frac{11}{3} + \frac{7}{4} = \frac{44 + 21}{12} = \frac{65}{12} $$

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、

$$ M\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} + \frac{7}{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \frac{7}{4} = 2\sqrt{2} + \frac{7}{4} $$

$a = 1$ のとき、

$$ M(1) = 2 \cdot 1 + 1 + \frac{7}{4} = 3 + \frac{7}{4} = \frac{19}{4} = \frac{57}{12} $$

最大値の候補となる端点の値を比較すると、$\frac{65}{12} > \frac{57}{12}$ であるため、最大値は $\frac{65}{12}$ です。

また、極小値がそのまま最小値となるため、最小値は $2\sqrt{2} + \frac{7}{4}$ です。

解法2

(2) の最小値については、相加平均と相乗平均の大小関係を利用することもできます。

$\frac{1}{3} \leqq a \leqq 1$ より $a > 0$ であるため、$2a > 0$ かつ $\frac{1}{a} > 0$ です。よって、相加平均と相乗平均の大小関係より次の不等式が成り立ちます。

$$ 2a + \frac{1}{a} \geqq 2\sqrt{2a \cdot \frac{1}{a}} = 2\sqrt{2} $$

等号が成立するのは $2a = \frac{1}{a}$ のときです。これを解くと $a^2 = \frac{1}{2}$ となり、$a > 0$ より $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ は定義域 $\frac{1}{3} \leqq a \leqq 1$ に含まれるため、$2a + \frac{1}{a}$ はこのとき最小値 $2\sqrt{2}$ をとります。

したがって、$M = 2a + \frac{1}{a} + \frac{7}{4}$ の最小値は次のようになります。

$$ 2\sqrt{2} + \frac{7}{4} $$

最大値については、関数 $g(a) = 2a + \frac{1}{a}$ のグラフが $a > 0$ において下に凸であることや、解法1と同様に導関数から増減を調べることで、区間の端点 $a = \frac{1}{3}$ で最大値 $\frac{65}{12}$ をとることが分かります。

解説

2つの変数が絡む最大・最小問題の典型的なパターンです。まずは一方の文字（この場合は $x$）に着目して2次関数として処理し、得られた結果（最小値）をもう一方の文字（$a$）の関数として捉え直すという手順を踏みます。

(2) で現れる関数 $M(a)$ は反比例の項を含む関数であるため、微分して増減を調べるのが標準的な解法です。一方で、正の変数同士の逆数関係の和の形になっていることに着目すれば、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて鮮やかに最小値を求めることもできます。

答え

(1) 最小値 $M = 2a + \frac{1}{a} + \frac{7}{4}$

(2) 最小値 $2\sqrt{2} + \frac{7}{4}$ （$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき）、最大値 $\frac{65}{12}$ （$a = \frac{1}{3}$ のとき）