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北海道大学 1973年文系第1問解説

方針・初手

$y = \frac{1}{8}x^2 + 4$ かつ $x, y$ がともに整数であるという条件から、$x$ がどのような整数であるべきかを絞り込む。具体的には、方程式を変形して $x$ が $4$ の倍数となることを示し、$x = 4m$（$m$ は整数）とおいて $x$ と $y$ を $m$ で表すことから始める。

解法1

(1)

$x, y$ は整数であり、$y = \frac{1}{8}x^2 + 4$ より以下のように変形できる。

$$ x^2 = 8(y - 4) $$

$y$ は整数なので $y - 4$ も整数であり、$x^2$ は $8$ の倍数である。 $x$ は整数であるから、$x^2$ が偶数となるためには $x$ は偶数でなければならない。 $x = 2k$ （$k$ は整数）とおくと、以下のようになる。

$$ x^2 = (2k)^2 = 4k^2 $$

これが $8$ の倍数となるためには、$k^2$ は偶数でなければならず、したがって $k$ も偶数である。よって $k = 2m$ （$m$ は整数）とおけるので、$x = 4m$、すなわち $x$ は $4$ の倍数である。このとき、$y$ は次のように表される。

$$ y = \frac{1}{8}(4m)^2 + 4 = 2m^2 + 4 $$

これにより、$m$ がどのような整数であっても $y$ は整数となる。これらを $10 < x + y < 100$ に代入する。

$$ 10 < 4m + 2m^2 + 4 < 100 $$

$$ 10 < 2m^2 + 4m + 4 < 100 $$

各辺を $2$ で割って整理する。

$$ 5 < m^2 + 2m + 2 < 50 $$

$$ 5 < (m+1)^2 + 1 < 50 $$

$$ 4 < (m+1)^2 < 49 $$

$m$ は整数であるから、$(m+1)^2$ は平方数である。これを満たす平方数 $(m+1)^2$ は、以下の $4$ つである。

$$ (m+1)^2 = 9, 16, 25, 36 $$

これらに対して $m+1 = \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6$ となり、$m$ の値は $8$ 個存在する。 $m$ が一つ決まれば $x = 4m$ により $x$ が決まり、$x$ が決まれば $y$ もただ一つ定まる。したがって、求める組の個数は $8$ 個である。

(2)

$(x, y) = (4m, 2m^2 + 4)$ より、$|xy|$ は次のように表される。

$$ |xy| = |4m(2m^2 + 4)| = 8|m(m^2 + 2)| $$

整数 $m$ の値に対する $|xy|$ の値を調べる。

$m = 0$ のとき

$$ |xy| = 0 $$

$m = \pm 1$ のとき

$$ |xy| = 8 \cdot 1 \cdot (1 + 2) = 24 $$

$m = \pm 2$ のとき

$$ |xy| = 8 \cdot 2 \cdot (4 + 2) = 96 $$

$m = \pm 3$ のとき

$$ |xy| = 8 \cdot 3 \cdot (9 + 2) = 264 $$

$m = \pm 4$ のとき

$$ |xy| = 8 \cdot 4 \cdot (16 + 2) = 576 $$

関数 $f(m) = 8|m(m^2+2)| = 8|m|^3 + 16|m|$ は $|m|$ について単調に増加する。したがって、$|m|$ が大きくなるにつれて $|xy|$ の値も大きくなる。

$|xy| \leqq a$ を満たす $(x, y)$ の組の個数が $7$ 個となるのは、この不等式を満たす $m$ が絶対値の小さい順に $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ のちょうど $7$ 個となるときである。

したがって、$a$ は $m = \pm 3$ のときの値である $264$ 以上であり、かつ $m = \pm 4$ のときの値である $576$ 未満でなければならない。すなわち、以下の不等式が条件となる。

$$ 264 \leqq a < 576 $$

よって、$a$ の最小値は $264$ である。

解説

「$x, y$ が整数」という条件と方程式から、未知数を $1$ つの整数パラメータで表すのが定石である。$y = \frac{1}{8}x^2 + 4$ から $x^2 = 8(y-4)$ と変形し、$x$ が $4$ の倍数であることを丁寧に導く部分が一番のポイントとなる。それ以降は (1)、(2) ともに $m$ の不等式に帰着させることで見通しよく解くことができる。