北海道大学 1973年 文系 第2問 解説

方針・初手

複素数 $z$ を極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表し、ド・モアブルの定理を用いて $z^n$ が実数となる条件を考える。 $z = -1 + ti$ ($t > 0$) であることから、実部と虚部の符号に着目して偏角 $\theta$ の取り得る範囲を絞り込む。 「最初に実数となる項が $z^{12}$」という条件は、「$\theta$ を分数で表したときに分母がちょうど $12$ になる（約分されない）」こと、すなわち互いに素である性質を利用して処理する。

解法1

(1)

$z$ の極形式を $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ （$r > 0$, $0 \le \theta < 2\pi$）とおく。 $z = -1 + ti$ であり、$t > 0$ であるから、$z$ の実部は負、虚部は正である。 したがって、$z$ は複素数平面上の第2象限にあるため、偏角 $\theta$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $$

である。

ド・モアブルの定理より、$z^n$ は

$$ z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) $$

と表される。 $z^n$ が実数となる条件は、その虚部が $0$ になること、すなわち $\sin n\theta = 0$ となることである。 これを満たすのは、$k$ を整数として

$$ n\theta = k\pi \iff \theta = \frac{k\pi}{n} $$

となるときである。 数列のうち最初に実数となる項が $z^{12}$ であるということは、$n=1, 2, \dots, 11$ に対しては $\sin n\theta \neq 0$ であり、$n=12$ のとき初めて $\sin 12\theta = 0$ になるということである。 ゆえに、$\theta = \frac{k\pi}{12}$ と表せるとともに、$k$ は $12$ と互いに素な整数でなければならない。 （もし公約数 $g > 1$ をもつならば、$n = \frac{12}{g} \le 6$ に対して $n\theta$ が $\pi$ の整数倍となり、$12$ より小さい $n$ で実数となってしまうため）

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、

$$ \frac{\pi}{2} < \frac{k\pi}{12} < \pi \iff 6 < k < 12 $$

これを満たす整数 $k$ は $k = 7, 8, 9, 10, 11$ である。 このうち、$12$ と互いに素であるものは $k = 7, 11$ のみである。 よって、求める偏角 $\theta$ は

$$ \theta = \frac{7}{12}\pi, \ \frac{11}{12}\pi $$

である。

(2)

$z = -1 + ti = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の実部と虚部を比較すると、

$$ r\cos\theta = -1, \quad r\sin\theta = t $$

$\cos\theta \neq 0$ であるから、これらを辺々割ると

$$ \tan\theta = \frac{t}{-1} \iff t = -\tan\theta $$

(1) の結果より、$\theta = \frac{7}{12}\pi$ または $\theta = \frac{11}{12}\pi$ である。

(i) $\theta = \frac{7}{12}\pi$ のとき

加法定理より、

$$ \begin{aligned} \tan\frac{7}{12}\pi &= \tan\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{\tan\frac{\pi}{3} + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}\cdot 1} \\ &= \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} \\ &= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} \\ &= -2 - \sqrt{3} \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ t = -(-2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} $$

となり、これは $t > 0$ を満たす。

(ii) $\theta = \frac{11}{12}\pi$ のとき

加法定理より、

$$ \begin{aligned} \tan\frac{11}{12}\pi &= \tan\left(\pi - \frac{\pi}{12}\right) \\ &= -\tan\frac{\pi}{12} \\ &= -\tan\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) \\ &= -\frac{\tan\frac{\pi}{3} - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}} \\ &= -\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}\cdot 1} \\ &= -\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\ &= -\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} \\ &= -2 + \sqrt{3} \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ t = -(-2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} $$

$\sqrt{3} < 2$ より、これも $t > 0$ を満たす。

以上より、求める $t$ の値は $t = 2 \pm \sqrt{3}$ である。

解説

• ド・モアブルの定理を用いて、複素数の累乗が実数となる条件を立式する典型的な問題である。
• 「最初に実数となる」という条件を正しく解釈できるかが鍵となる。単に $\sin 12\theta = 0$ を満たすだけでなく、それ以前の $n$ では $\sin n\theta \neq 0$ であることを「分母と分子が互いに素」という整数の性質に帰着させるのがポイントである。
• $\tan\frac{7}{12}\pi$ や $\tan\frac{11}{12}\pi$ の計算は、有名角の和や差を利用して加法定理から正確に導出したい。

答え

(1) $\theta = \frac{7}{12}\pi, \ \frac{11}{12}\pi$ (2) $t = 2 \pm \sqrt{3}$