北海道大学 1999年 文系 第1問 解説

方針・初手

三角形の面積と底辺の長さが与えられていることから、まずは高さ $CD$ を求めます。その後、三平方の定理を用いて $a^2$ と $b^2$ をそれぞれ $x$ の式で表し、与えられた代数式に代入します。後半は得られた二次関数の最小値を求める問題に帰着します。

解法1

(1)

$\triangle ABC$ の面積が $1$ であり、底辺 $AB=2$ であるから、高さ $CD$ について以下の等式が成り立ちます。

$$ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = 1 $$

$$ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot CD = 1 $$

これより $CD = 1$ となります。

点 $D$ は線分 $AB$ 上にあるため、$0 \le x \le 2$ であり、線分 $AD$ と $BD$ の長さはそれぞれ以下のように表せます。

$$ AD = x, \quad BD = 2-x $$

直角三角形 $\triangle ACD$ において三平方の定理を用いると、

$$ b^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 1 $$

直角三角形 $\triangle BCD$ において三平方の定理を用いると、

$$ a^2 = BD^2 + CD^2 = (2-x)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5 $$

したがって、求める式は次のように計算できます。

$$ \begin{aligned} a^2 + (2\sqrt{3}-1)b^2 &= (x^2 - 4x + 5) + (2\sqrt{3}-1)(x^2 + 1) \\ &= x^2 - 4x + 5 + 2\sqrt{3}x^2 + 2\sqrt{3} - x^2 - 1 \\ &= 2\sqrt{3}x^2 - 4x + 2\sqrt{3} + 4 \end{aligned} $$

(2)

(1)で求めた式を $f(x)$ とおきます。$f(x)$ を平方完成して最小値を調べます。

$$ \begin{aligned} f(x) &= 2\sqrt{3} \left( x^2 - \frac{4}{2\sqrt{3}}x \right) + 2\sqrt{3} + 4 \\ &= 2\sqrt{3} \left( x^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}x \right) + 2\sqrt{3} + 4 \\ &= 2\sqrt{3} \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 - 2\sqrt{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2\sqrt{3} + 4 \\ &= 2\sqrt{3} \left( x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 2\sqrt{3} + 4 \\ &= 2\sqrt{3} \left( x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} + 4 \end{aligned} $$

点 $D$ は線分 $AB$ 上にあるため、$x$ は $0 \le x \le 2$ の範囲を動きます。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ はこの範囲を満たすため、$f(x)$ は $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき最小となります。

このとき、直角三角形 $\triangle ACD$ において $AD = \frac{1}{\sqrt{3}}, CD = 1$ であるから、

$$ \tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} $$

点 $D$ は線分 $AB$ 上にあるため $\angle BAC = \angle CAD$ は鋭角（または直角）の範囲にあり、

$$ \angle BAC = 60^\circ $$

解説

図形的な条件を代数式に翻訳し、二次関数の最大・最小問題として処理する典型的な問題です。垂線の足 $D$ が線分 $AB$ 上にあるという条件から、定義域が $0 \le x \le 2$ になることを忘れずに確認しましょう。平方完成の際の計算ミスに注意が必要です。

答え

(1) $2\sqrt{3}x^2 - 4x + 2\sqrt{3} + 4$

(2) $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\angle BAC = 60^\circ$