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北海道大学 1999年文系第2問解説

方針・初手

(1) 2つの曲線の式を連立して方程式を解き、第1象限にある交点 $A$ の $x$ 座標を求める。これがそのまま点 $B$ の $x$ 座標となる。

(2) 面積 $S$ は、放物線 $y = \left(\frac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ と $x$ 軸、および直線 $x = a$ で囲まれた領域の面積であるため、区間 $[0, a]$ における定積分を用いて計算する。

(3) (2) で求めた $S$ を $a$ の関数とみなし、導関数を求めて増減表を作成し、最大値を与える $a$ の値を特定する。

解法1

(1) 曲線 $y = 1 - x^2$ と $y = \left(\frac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$ 1 - x^2 = \left(\frac{1}{a^2} - 1\right)x^2 $$

これを整理する。

$$ 1 = \frac{1}{a^2} x^2 $$

$$ x^2 = a^2 $$

条件より $0 < a < 1$ であり、交点 $A$ は第1象限にあるため $x > 0$ である。よって、解は $x = a$ となる。点 $B$ は点 $A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足であるから、$y$ 座標は $0$ である。したがって、点 $B$ の座標は $(a, 0)$ である。

(2) $0 < a < 1$ より $a^2 < 1$ すなわち $\frac{1}{a^2} > 1$ であるから、$\frac{1}{a^2} - 1 > 0$ である。したがって、求める面積 $S$ は、曲線 $y = \left(\frac{1}{a^2} - 1\right)x^2$、$x$ 軸（線分 $OB$）、および直線 $x = a$（線分 $AB$）で囲まれた図形の面積である。

$$ S = \int_{0}^{a} \left(\frac{1}{a^2} - 1\right)x^2 dx $$

これを計算する。

$$ \begin{aligned} S &= \left(\frac{1}{a^2} - 1\right) \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a} \\ &= \left(\frac{1}{a^2} - 1\right) \cdot \frac{a^3}{3} \\ &= \frac{a}{3} - \frac{a^3}{3} \\ &= \frac{1}{3}(a - a^3) \end{aligned} $$

(3) (2) より、$S$ を $a$ の関数とみて $f(a) = \frac{1}{3}(a - a^3)$ とおく。 $f(a)$ を $a$ について微分すると、以下のようになる。

$$ f'(a) = \frac{1}{3}(1 - 3a^2) $$

$f'(a) = 0$ となる $a$ の値は $a^2 = \frac{1}{3}$ であり、定義域が $0 < a < 1$ であることから $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。 $0 < a < 1$ における $f(a)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & (1) \\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \end{array} $$

増減表より、関数 $f(a)$ は $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき極大かつ最大となる。したがって、面積 $S$ を最大にする $a$ の値は $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

解説

関数の交点、定積分による面積計算、微分の応用（最大値問題）を組み合わせた微分積分の標準的な融合問題である。 (1) で交点の $x$ 座標がパラメータ $a$ に一致することが、以降の積分計算を簡潔にしている。 (2) の積分計算では、係数 $\left(\frac{1}{a^2} - 1\right)$ を定数としてくくり出してから積分すると計算ミスを防ぎやすい。 (3) は $a$ を変数とみなした増減の調査である。増減表を書く際には、$a$ の定義域 $0 < a < 1$ を意識し、その開区間内での極大値が最大値であることを確認する手順を踏むことが重要である。