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名古屋大学 2002年文系第4問解説

方針・初手

$\triangle ABC$ の面積の条件から、$AP \cdot AQ$ の値を求める。
$\triangle ABC$ の3辺の長さから $\cos A$ の値を求める（三平方の定理の逆から直角三角形であることに気づくと計算が早い）。
$\triangle APQ$ において余弦定理を用い、$PQ$ を $AP+AQ$ ($=u$) と $AP \cdot AQ$ を用いて表す。
$l$ を $u$ の関数として表し、その増減と $u$ のとりうる値の範囲から最小値を求める。

解法1

(1)

$\triangle ABC$ の辺の長さは $AB=10, BC=6, AC=8$ であり、$10^2 = 8^2 + 6^2$ が成り立つ。したがって、$\triangle ABC$ は $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形である。よって、 $$ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $$ である（$\triangle ABC$ に余弦定理を用いて計算しても同じ値を得る）。

次に、$\triangle APQ$ の面積の条件を考える。 $\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、 $$ S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A $$ $\triangle APQ$ の面積は $\frac{1}{2} S$ となるように点 $P, Q$ をとるため、 $$ \frac{1}{2} AP \cdot AQ \sin A = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A \right) $$ が成り立つ。$\sin A > 0$ であるから両辺を割って整理すると、 $$ AP \cdot AQ = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40 $$ となる。

ここで、$\triangle APQ$ において余弦定理を用いると、 $$ \begin{aligned} PQ^2 &= AP^2 + AQ^2 - 2 AP \cdot AQ \cos A \\ &= (AP + AQ)^2 - 2 AP \cdot AQ - 2 AP \cdot AQ \cos A \\ &= u^2 - 2 \cdot 40 - 2 \cdot 40 \cdot \frac{4}{5} \\ &= u^2 - 80 - 64 \\ &= u^2 - 144 \end{aligned} $$ $PQ > 0$ より $PQ = \sqrt{u^2 - 144}$ である。したがって、$\triangle APQ$ の周の長さ $l$ は、 $$ l = AP + AQ + PQ = u + \sqrt{u^2 - 144} $$ と表される。

(2)

(1)より、$l$ は $u$ の関数として $$ l = u + \sqrt{u^2 - 144} $$ と表される。ここで、$u > 12$ （$u^2 - 144 > 0$）の範囲において、$u$ が増加すれば $\sqrt{u^2 - 144}$ も増加するため、$l$ は単調増加関数である。したがって、$u$ が最小となるとき、$l$ も最小となる。

次に、$u$ のとりうる値の範囲を調べる。点 $P$ は辺 $AB$ 上、点 $Q$ は辺 $AC$ 上にあるため、 $$ 0 < AP \leqq 10, \quad 0 < AQ \leqq 8 $$ である。$AQ = \frac{40}{AP}$ であるから、 $$ \frac{40}{AP} \leqq 8 \iff AP \geqq 5 $$ となり、$5 \leqq AP \leqq 10$ を満たす必要がある。

$u = AP + AQ = AP + \frac{40}{AP}$ であり、$AP > 0, \frac{40}{AP} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、 $$ u = AP + \frac{40}{AP} \geqq 2 \sqrt{AP \cdot \frac{40}{AP}} = 2\sqrt{40} = 4\sqrt{10} $$ が成り立つ。等号が成立するのは $AP = \frac{40}{AP}$、すなわち $AP^2 = 40$ より $AP = 2\sqrt{10}$ のときである。 $2\sqrt{10} = \sqrt{40}$ であり、$5 = \sqrt{25} < \sqrt{40} < \sqrt{64} = 8$ であるから、この $AP$ の値は条件 $5 \leqq AP \leqq 10$ を満たす。このとき、$AQ = \frac{40}{2\sqrt{10}} = 2\sqrt{10}$ であり、これも条件 $0 < AQ \leqq 8$ を満たしている。

よって、$u$ は $AP = AQ = 2\sqrt{10}$ のとき、最小値 $4\sqrt{10}$ をとる。このときの $l$ の最小値は、 $$ l = 4\sqrt{10} + \sqrt{(4\sqrt{10})^2 - 144} = 4\sqrt{10} + \sqrt{160 - 144} = 4\sqrt{10} + \sqrt{16} = 4\sqrt{10} + 4 $$ である。

解説

三角形の面積の公式を用いて2辺の積が一定であることを導き、対称式と余弦定理から第3辺の長さを表現する、頻出の図形問題である。
周の長さ $l$ が $u$ の単調増加関数になることに気づけば、問題は $u = AP + AQ$ の最小値を求めることに帰着される。
積 $AP \cdot AQ$ が一定値をとることから、和の最小値を求めるために相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが最も簡明である。
この解法をとる際、点が線分上にあるという条件から変数の定義域（$5 \leqq AP \leqq 10$）を求め、最小値を与える等号成立条件がその定義域内に収まっていることを確認するプロセスを欠かしてはならない。