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東京大学 2015年文系第3問解説

方針・初手

円の外部から引いた2本の接線の長さが等しいという図形的性質に着目する。直線 $l$ の偏角を $\theta$ とおき、$r_1$ と $r_2$ を $\theta$（または $\tan\frac{\theta}{2}$）を用いて表す方針が計算量が少なく簡明である。あるいは、円の中心座標を設定し、点と直線の距離の公式から関係式を導く代数的なアプローチも可能である。

解法1

直線 $l$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とおく。直線 $l$ の傾きは正であるから、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

円 $C_1, C_2$ と直線 $l$ の接点を $P$ とおく。原点 $O$ から円 $C_1$ に引いた接線は $x$ 軸と直線 $l$ であり、接点はそれぞれ $(1, 0)$（これを点 $A$ とおく）と点 $P$ である。円の外部の点から引いた2本の接線の長さは等しいから、$OP = OA = 1$ である。また、円 $C_1$ の中心を $O_1$ とすると、半直線 $OO_1$ は $\angle AOP$ を2等分するから、$\angle AOO_1 = \frac{\theta}{2}$ である。 $O_1$ の座標は $(1, r_1)$ であり、直角三角形 $O A O_1$ において、$r_1 = OA \tan\frac{\theta}{2} = \tan\frac{\theta}{2}$ となる。

次に、原点 $O$ から円 $C_2$ に引いた接線は $y$ 軸と直線 $l$ である。 $y$ 軸との接点を $B$ とすると、同様に接線の長さが等しいことから、$OB = OP = 1$ である。接点 $B$ は $y$ 軸の正の部分にあるから、$B(0, 1)$ である。円 $C_2$ の中心を $O_2$ とすると、半直線 $OO_2$ は $\angle POB$ を2等分する。 $\angle POB = \frac{\pi}{2} - \theta$ であるから、$\angle POO_2 = \angle BOO_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$ である。 $O_2$ の座標は $(r_2, 1)$ であり、直角三角形 $O B O_2$ において、$r_2 = OB \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$ となる。

ここで、$t = \tan\frac{\theta}{2}$ とおく。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < t < 1$ である。 $r_1 = t$ であり、加法定理より以下のように表せる。

$$ r_2 = \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan\frac{\theta}{2}}{1 + \tan\frac{\pi}{4} \tan\frac{\theta}{2}} = \frac{1 - t}{1 + t} $$

求める値 $8r_1 + 9r_2$ を $t$ を用いて表すと、

$$ 8r_1 + 9r_2 = 8t + \frac{9(1 - t)}{1 + t} = 8t + \frac{-9(t + 1) + 18}{t + 1} = 8(t + 1) + \frac{18}{t + 1} - 17 $$

ここで、$t + 1 = u$ とおくと、$0 < t < 1$ より $1 < u < 2$ であり、

$$ 8r_1 + 9r_2 = 8u + \frac{18}{u} - 17 $$

$u > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ 8u + \frac{18}{u} \geqq 2\sqrt{8u \cdot \frac{18}{u}} = 2\sqrt{144} = 24 $$

よって、$8r_1 + 9r_2 \geqq 24 - 17 = 7$ となる。等号が成立するのは、$8u = \frac{18}{u}$ すなわち $u^2 = \frac{9}{4}$ のときである。 $u > 0$ より $u = \frac{3}{2}$ であり、これは $1 < u < 2$ を満たす。このとき、$t = u - 1 = \frac{1}{2}$ である。

直線 $l$ の傾きは $\tan\theta$ であり、

$$ \tan\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2t}{1 - t^2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} $$

となる。したがって、$8r_1 + 9r_2$ を最小とする直線 $l$ の方程式は $y = \frac{4}{3}x$ であり、最小値は $7$ である。

解法2

直線 $l$ の方程式を $y = mx$ ($m > 0$) とおく。すなわち $mx - y = 0$ である。円 $C_1$ は $x$ 軸と点 $(1, 0)$ で接するので、中心は $(1, r_1)$ である。円 $C_1$ は直線 $l$ に接するので、中心 $(1, r_1)$ と直線 $mx - y = 0$ の距離は半径 $r_1$ と等しい。

$$ \frac{|m - r_1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = r_1 $$

両辺を正の数 $\sqrt{m^2 + 1}$ で掛けて2乗すると、

$$ (m - r_1)^2 = r_1^2(m^2 + 1) $$

展開して整理する。

$$ m^2 - 2mr_1 + r_1^2 = m^2 r_1^2 + r_1^2 $$

$$ m^2(1 - r_1^2) - 2mr_1 = 0 $$

$m > 0$ より両辺を $m$ で割ると、$m(1 - r_1^2) = 2r_1$ となる。 $r_1 > 0$ であり、$1 - r_1^2 = 0$ とすると $2r_1 = 0$ となり矛盾するため、$1 - r_1^2 \neq 0$ である。よって、$m = \frac{2r_1}{1 - r_1^2}$ と表せる。さらに $m > 0, r_1 > 0$ より $0 < r_1 < 1$ である。

次に、円 $C_1, C_2$ は直線 $l$ と同一点 $P$ で接する。原点 $O$ から円 $C_1$ に引いた接線の長さは等しいので、$OP = 1$ である。同様に、円 $C_2$ は $y$ 軸と接し、直線 $l$ と点 $P$ で接することから、原点 $O$ から円 $C_2$ に引いた接線の長さも等しい。したがって、$y$ 軸との接点を $B$ とすると、$OB = OP = 1$ である。円 $C_2$ は領域 $y \geqq 0$ に含まれるので、接点 $B$ の座標は $(0, 1)$ となり、円 $C_2$ の中心は $(r_2, 1)$ となる。円 $C_2$ も直線 $mx - y = 0$ に接するので、中心 $(r_2, 1)$ と直線の距離は $r_2$ となる。

$$ \frac{|mr_2 - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r_2 $$

両辺を2乗して整理する。

$$ (mr_2 - 1)^2 = r_2^2(m^2 + 1) $$

$$ m^2 r_2^2 - 2mr_2 + 1 = m^2 r_2^2 + r_2^2 $$

$$ r_2^2 + 2mr_2 - 1 = 0 $$

$r_2 > 0$ より、$r_2 = -m + \sqrt{m^2 + 1}$ を得る。ここで、$m = \frac{2r_1}{1 - r_1^2}$ を代入する。$0 < r_1 < 1$ より $1 - r_1^2 > 0$ であることに注意する。

$$ \sqrt{m^2 + 1} = \sqrt{\frac{4r_1^2}{(1 - r_1^2)^2} + 1} = \sqrt{\frac{4r_1^2 + (1 - r_1^2)^2}{(1 - r_1^2)^2}} = \sqrt{\frac{(1 + r_1^2)^2}{(1 - r_1^2)^2}} = \frac{1 + r_1^2}{1 - r_1^2} $$

したがって、$r_2$ は次のように表せる。

$$ r_2 = -\frac{2r_1}{1 - r_1^2} + \frac{1 + r_1^2}{1 - r_1^2} = \frac{1 - 2r_1 + r_1^2}{1 - r_1^2} = \frac{(1 - r_1)^2}{(1 - r_1)(1 + r_1)} = \frac{1 - r_1}{1 + r_1} $$

求める式に代入すると、

$$ 8r_1 + 9r_2 = 8r_1 + \frac{9(1 - r_1)}{1 + r_1} = 8(r_1 + 1) + \frac{18}{r_1 + 1} - 17 $$

$r_1 + 1 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ 8(r_1 + 1) + \frac{18}{r_1 + 1} \geqq 2\sqrt{8(r_1 + 1) \cdot \frac{18}{r_1 + 1}} = 24 $$

よって、$8r_1 + 9r_2 \geqq 24 - 17 = 7$ である。等号成立条件は $8(r_1 + 1) = \frac{18}{r_1 + 1}$ より $(r_1 + 1)^2 = \frac{9}{4}$ のときであり、$r_1 > 0$ より $r_1 = \frac{1}{2}$ である。このとき直線の傾きは $m = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$ となり、解法1と同じ結果を得る。