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東京工業大学 1999年理系第3問解説

方針・初手

三角形の頂点を文字で置き、辺の長さを設定する。面積を2等分する線分は、三角形の2辺上に端点を持つため、どの2辺上に端点を持つかで場合分けを行う。それぞれのパターンのもとで、面積の条件から線分の端点の位置関係（積が一定）を導き、余弦定理と相加・相乗平均の関係を用いて線分の長さの最小値を求める。最後に、それらを比較して全体の最小値を決定する。

解法1

条件を満たす三角形を $\triangle\text{ABC}$ とし、$\text{AB}=1, \text{AC}=1, \text{BC}=a$ とする。三角形の成立条件より、$1 + 1 > a$ すなわち $0 < a < 2$ である。

余弦定理より、$\angle\text{A}, \angle\text{B}$ の余弦はそれぞれ以下のように求まる。

$$ \cos A = \frac{1^2 + 1^2 - a^2}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 1 - \frac{a^2}{2} $$

$$ \cos B = \frac{1^2 + a^2 - 1^2}{2 \cdot 1 \cdot a} = \frac{a}{2} $$

面積を2等分する線分の両端点を $\text{P}, \text{Q}$ とし、線分の長さを $l$ とする。 2点 $\text{P}, \text{Q}$ は同じ辺上にはないため、対称性から以下の2つの場合を考えれば十分である。

(i) 点P, Qがそれぞれ辺AB, AC上にある場合

$\text{AP} = x, \text{AQ} = y$ とおく。点 $\text{P}, \text{Q}$ は辺上にあるので、$0 < x \leqq 1, 0 < y \leqq 1$ である。 $\triangle\text{ABC}$ の面積を $S$ とすると、面積を2等分する条件は $\triangle\text{APQ} = \frac{1}{2}S$ であるから、

$$ \frac{1}{2}xy \sin A = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \sin A \right) $$

これより、$xy = \frac{1}{2}$ を得る。このとき、$\triangle\text{APQ}$ において余弦定理を用いると、

$$ l^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos A $$

$x > 0, y > 0$ であるから、相加・相乗平均の関係より $x^2 + y^2 \geqq 2xy$ であり、$\cos A = 1 - \frac{a^2}{2}$ を代入すると、

$$ l^2 \geqq 2xy - 2xy \cos A = 2xy (1 - \cos A) = 2 \cdot \frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( 1 - \frac{a^2}{2} \right) \right\} = \frac{a^2}{2} $$

等号は $x = y$ のとき、すなわち $x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときに成立し、これは $0 < x \leqq 1, 0 < y \leqq 1$ を満たす。よって、この場合の $l^2$ の最小値は $\frac{a^2}{2}$ である。

(ii) 点P, Qがそれぞれ辺AB, BC上にある場合

$\text{BP} = x, \text{BQ} = y$ とおく。点 $\text{P}, \text{Q}$ は辺上にあるので、$0 < x \leqq 1, 0 < y \leqq a$ である。面積を2等分する条件は $\triangle\text{BPQ} = \frac{1}{2}S$ であるから、

$$ \frac{1}{2}xy \sin B = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot a \sin B \right) $$

これより、$xy = \frac{a}{2}$ を得る。このとき、$\triangle\text{BPQ}$ において余弦定理を用いると、

$$ l^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos B $$

$x > 0, y > 0$ であるから、相加・相乗平均の関係より $x^2 + y^2 \geqq 2xy = a$ であり、$\cos B = \frac{a}{2}$ を代入すると、

$$ l^2 \geqq a - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = a - \frac{a^2}{2} $$

ここで、等号成立条件は $x = y = \sqrt{\frac{a}{2}}$ である。これが $0 < x \leqq 1$ かつ $0 < y \leqq a$ を満たす条件は、$\sqrt{\frac{a}{2}} \leqq 1$ かつ $\sqrt{\frac{a}{2}} \leqq a$ である。 $0 < a < 2$ のもとで前者は常に成り立ち、後者は $a \geqq \frac{1}{2}$ のときに成り立つ。したがって、$a \geqq \frac{1}{2}$ のとき、この場合の $l^2$ の最小値は $a - \frac{a^2}{2}$ である。

各場合の最小値の比較

（i）で得られた最小値 $\frac{a^2}{2}$ と、（ii）における $l^2$ の下限値 $a - \frac{a^2}{2}$ の大小を比較する。

$$ \frac{a^2}{2} - \left( a - \frac{a^2}{2} \right) = a^2 - a = a(a - 1) $$

(ア) $0 < a \leqq 1$ のとき

$a(a - 1) \leqq 0$ より、$\frac{a^2}{2} \leqq a - \frac{a^2}{2}$ である。（ii）の場合、$l^2$ の値は $x, y$ の範囲に関わらず常に $a - \frac{a^2}{2}$ 以上となるため、全体の最小値は（i）の最小値である $\frac{a^2}{2}$ となる。

(イ) $1 < a < 2$ のとき

$a > 1$ より $a \geqq \frac{1}{2}$ を満たすため、（ii）の最小値は実際に $a - \frac{a^2}{2}$ をとる。 $a(a - 1) > 0$ より、$\frac{a^2}{2} > a - \frac{a^2}{2}$ となるため、全体の最小値は（ii）の最小値である $a - \frac{a^2}{2}$ となる。

以上より、$l$ は正であるから、最小値はそれぞれの平方根をとったものになる。

解説

図形の面積を二等分する線分の長さを最小化する典型的な問題である。2辺を挟む角とその周辺の長さを変数でおき、面積の条件から変数の積が一定であることを導くアプローチが基本となる。「積が一定のとき、2乗の和の最小値を求める」という構造になるため、相加・相乗平均の関係と相性が良い。本問のポイントは、端点をとる辺の選び方で場合分けが発生することと、等号成立条件（点P, Qが辺上にとどまるかどうか）の確認が必要になる点である。（ii）において等号が成立しない $0 < a < \frac{1}{2}$ の区間の処理は煩雑になりがちだが、（i）の最小値と（ii）の「定義域を無視した下限値」を比較することで、面倒な計算を回避できる。