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北海道大学 2007年文系第3問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

貍ｸ蛹門ｼ上ｄ蝣ｴ蜷医・謨ｰ繧呈ｴｻ逕ｨ縺励※縲∵擅莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励・蛟区焚繧呈ｱゅａ繧九・1) 縺ｯ謨ｰ蛻励・譛ｫ蟆ｾ縺ｮ鬆・↓豕ｨ逶ｮ縺励※蝣ｴ蜷亥・縺代ｒ陦後＞縲∵ｼｸ蛹門ｼ上ｒ遶九※繧九・2) 縺ｯ譛ｫ蟆ｾ縺ｮ $2$ 鬆・$a_{n-1}$ 縺ｨ $a_n$ 縺ｮ螟ｧ蟆城未菫ゅ°繧峨・a_n$ 縺ｮ蛟､縺ｧ蝣ｴ蜷亥・縺代＠縺ｦ縲・1) 縺ｧ豎ゅａ縺・$A_k(j)$ 縺ｮ邨先棡繧貞茜逕ｨ縺励※邱乗焚繧定ｨ育ｮ励☆繧九・

隗｣豕・

(1)(i)

謨ｰ蛻・$a_1, a_2, \cdots, a_n$ 縺ｯ $1, 2, 3$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｮ蛟､繧偵→繧翫∵擅莉ｶ $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n = 1$ 繧呈ｺ縺溘☆縲・縺薙・荳咲ｭ牙ｼ上°繧峨・1 \leqq a_k \leqq 1$・・1 \leqq k \leqq n$・峨→縺ｪ繧九◆繧√√☆縺ｹ縺ｦ縺ｮ鬆・′ $1$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・縺励◆縺後▲縺ｦ縲√％繧後ｒ貅縺溘☆謨ｰ蛻励・ $(1, 1, \cdots, 1)$ 縺ｮ $1$ 騾壹ｊ縺ｮ縺ｿ縺ｧ縺ゅｋ縲・繧医▲縺ｦ縲・A_n(1) = 1$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

谺｡縺ｫ縲∵擅莉ｶ $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n = 2$ 繧呈ｺ縺溘☆蝣ｴ蜷医ｒ閠・∴繧九・ $a_n = 2$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲∵ｮ九ｊ縺ｮ $n-1$ 蛟九・鬆・$a_1, \dots, a_{n-1}$ 縺ｯ $1$ 縺ｾ縺溘・ $2$ 縺ｧ縺ゅｊ縲∝腰隱ｿ髱樊ｸ帛ｰ代↓荳ｦ縺ｶ縲・縺､縺ｾ繧翫√≠繧九→縺薙ｍ縺ｾ縺ｧ $1$ 縺檎ｶ壹″縲√◎繧御ｻ･髯阪・ $2$ 縺ｨ縺ｪ繧九・ $1$ 縺ｮ蛟区焚縺ｯ $0$ 蛟九°繧・$n-1$ 蛟九∪縺ｧ縺ｮ $n$ 騾壹ｊ閠・∴繧峨ｌ繧九ゑｼ・1$ 縺ｮ蛟区焚縺梧ｱｺ縺ｾ繧後・谿九ｊ縺ｯ縺吶∋縺ｦ $2$ 縺ｨ縺ｪ繧翫∵焚蛻励′縺溘□荳縺､縺ｫ豎ｺ縺ｾ繧具ｼ・繧医▲縺ｦ縲・A_n(2) = n$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

(1)(ii)

$n \geqq 2$ 縺ｨ縺吶ｋ縲よ擅莉ｶ $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_n = 3$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励↓縺､縺・※閠・∴繧九・ $a_{n-1} \leqq a_n = 3$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・a_{n-1}$ 縺後→繧雁ｾ励ｋ蛟､縺ｯ $1, 2, 3$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｧ縺ゅｋ縲・

$a_{n-1} = 1$ 縺ｮ縺ｨ縺阪∵擅莉ｶ $a_1 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} = 1$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励・蛟区焚縺ｯ $A_{n-1}(1)$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・
$a_{n-1} = 2$ 縺ｮ縺ｨ縺阪∵擅莉ｶ $a_1 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} = 2$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励・蛟区焚縺ｯ $A_{n-1}(2)$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・
$a_{n-1} = 3$ 縺ｮ縺ｨ縺阪∵擅莉ｶ $a_1 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} = 3$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励・蛟区焚縺ｯ $A_{n-1}(3)$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺薙ｌ繧峨・莠偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲∵ｬ｡縺梧・繧顔ｫ九▽縲・

$$ A_n(3) = A_{n-1}(1) + A_{n-1}(2) + A_{n-1}(3) $$

(1)(i) 縺ｮ邨先棡縺九ｉ $A_{n-1}(1) = 1$縲・A_{n-1}(2) = n-1$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲√％繧後ｉ繧剃ｻ｣蜈･縺励※謨ｴ逅・☆繧九→縲・

$$ A_n(3) - A_{n-1}(3) = 1 + (n-1) = n $$

縺薙ｌ縺ｯ謨ｰ蛻・$\{A_n(3)\}$ 縺ｮ髫主ｷｮ謨ｰ蛻励′ $n$ 縺ｧ縺ゅｋ縺薙→繧堤､ｺ縺励※縺・ｋ縲・ $n \geqq 2$ 縺ｮ縺ｨ縺阪・A_n(3)$ 縺ｯ谺｡縺ｮ繧医≧縺ｫ豎ゅａ繧峨ｌ繧九・

$$ A_n(3) = A_1(3) + \sum_{k=2}^{n} k $$

$A_1(3)$ 縺ｯ隕∫ｴ謨ｰ $1$ 縺ｧ $a_1 = 3$ 縺ｨ縺ｪ繧区焚蛻励・蛟区焚縺ｪ縺ｮ縺ｧ縲・A_1(3) = 1$ 縺ｧ縺ゅｋ縲ゅ＠縺溘′縺｣縺ｦ縲・

$$ A_n(3) = 1 + \frac{1}{2}n(n+1) - 1 = \frac{1}{2}n(n+1) $$

縺薙・蠑上・ $n=1$ 縺ｮ縺ｨ縺・$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$ 縺ｨ縺ｪ繧翫・n=1$ 縺ｮ蝣ｴ蜷医ｂ謌舌ｊ遶九▽縲・

(2)

譚｡莉ｶ縺ｯ $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_{n-1}$ 縺九▽ $a_{n-1} > a_n$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・蜷・・・ $1, 2, 3$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・a_{n-1} > a_n$ 縺ｨ縺ｪ繧・$a_n$ 縺ｮ蛟､縺ｯ $1$ 縺ｾ縺溘・ $2$ 縺ｫ髯舌ｉ繧後ｋ縲・縺薙ｌ繧峨〒蝣ｴ蜷亥・縺代ｒ陦後≧縲・

(繧｢) $a_n = 1$ 縺ｮ縺ｨ縺・

$a_{n-1} > 1$ 繧医ｊ縲・a_{n-1}$ 縺ｯ $2$ 縺ｾ縺溘・ $3$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・ $a_{n-1} = 2$ 縺ｮ縺ｨ縺阪∵擅莉ｶ $a_1 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} = 2$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励・蛟区焚縺ｯ $A_{n-1}(2)$ 騾壹ｊ縲・ $a_{n-1} = 3$ 縺ｮ縺ｨ縺阪∵擅莉ｶ $a_1 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} = 3$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励・蛟区焚縺ｯ $A_{n-1}(3)$ 騾壹ｊ縲・繧医▲縺ｦ縲√％縺ｮ蝣ｴ蜷医・ $A_{n-1}(2) + A_{n-1}(3)$ 騾壹ｊ縺ゅｋ縲・

(繧､) $a_n = 2$ 縺ｮ縺ｨ縺・

$a_{n-1} > 2$ 繧医ｊ縲・a_{n-1}$ 縺ｯ $3$ 縺ｮ縺ｿ縺ｧ縺ゅｋ縲・譚｡莉ｶ $a_1 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} = 3$ 繧呈ｺ縺溘☆謨ｰ蛻励・蛟区焚縺ｯ $A_{n-1}(3)$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・繧医▲縺ｦ縲√％縺ｮ蝣ｴ蜷医・ $A_{n-1}(3)$ 騾壹ｊ縺ゅｋ縲・

(繧｢) 縺ｨ (繧､) 縺ｯ謗貞渚縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲∵ｱゅａ繧区焚蛻励・邱乗焚縺ｯ縺薙ｌ繧峨・蜥後→縺ｪ繧九・

$$ \text{邱乗焚} = \{A_{n-1}(2) + A_{n-1}(3)\} + A_{n-1}(3) = A_{n-1}(2) + 2A_{n-1}(3) $$

(1) 縺ｧ豎ゅａ縺溷ｼ上ｈ繧翫・A_{n-1}(2) = n-1$縲・A_{n-1}(3) = \frac{1}{2}(n-1)n$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・縺薙ｌ繧峨ｒ莉｣蜈･縺励※險育ｮ励☆繧九・

$$ \text{邱乗焚} = (n-1) + 2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n $$

$$ = (n-1) + n(n-1) $$

$$ = (n-1)(n+1) $$

$$ = n^2 - 1 $$

縺励◆縺後▲縺ｦ縲∵ｱゅａ繧区焚蛻励・ $n^2 - 1$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

隗｣豕・

**(1)(i) 縺ｮ蛻･隗｣・磯㍾隍・ｵ・粋縺帙ｒ逕ｨ縺・ｋ譁ｹ豕包ｼ・*

$A_n(2)$ 縺ｫ縺､縺・※縲・ $n$ 蛟九・鬆・$a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} \leqq a_n = 2$ 縺ｫ縺翫＞縺ｦ縲・a_n = 2$ 縺ｯ蝗ｺ螳壹＆繧後※縺・ｋ縲・谿九ｋ $n-1$ 蛟九・鬆・↓縺､縺・※縲√◎繧後◇繧・$1, 2$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｮ蛟､繧偵→繧九・縺薙ｌ繧偵・1, 2$ 縺ｮ $2$ 遞ｮ鬘槭・謨ｰ蟄励°繧峨・㍾隍・ｒ險ｱ縺励※ $n-1$ 蛟矩∈縺ｳ縲∝ｰ上＆縺・・↓荳ｦ縺ｹ繧九阪→閠・∴繧九→縲・㍾隍・ｵ・粋縺帙・閠・∴譁ｹ縺碁←逕ｨ縺ｧ縺阪ｋ縲・豎ゅａ繧句ｴ蜷医・謨ｰ縺ｯ ${}_2 \mathrm{H}_{n-1}$ 縺ｨ縺ｪ繧九・

$$ A_n(2) = {}_{2} \mathrm{H}_{n-1} = {}_{2+n-1-1}\mathrm{C}_{n-1} = {}_n \mathrm{C}_{n-1} = n $$

蜷梧ｧ倥↓縲・A_n(1)$ 縺ｯ $1$ 遞ｮ鬘槭・謨ｰ蟄励°繧蛾㍾隍・ｒ險ｱ縺励※ $n-1$ 蛟矩∈縺ｶ縺ｮ縺ｧ縲・

$$ A_n(1) = {}_1 \mathrm{H}_{n-1} = {}_{1+n-1-1}\mathrm{C}_{n-1} = {}_{n-1}\mathrm{C}_{n-1} = 1 $$

(1)(ii) 縺ｮ蛻･隗｣

貍ｸ蛹門ｼ上ｒ逕ｨ縺・★縺ｫ逶ｴ謗･豎ゅａ繧九％縺ｨ繧ゅ〒縺阪ｋ縲・譚｡莉ｶ $a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_{n-1} \leqq a_n = 3$ 縺ｫ縺翫＞縺ｦ縲∝・縺ｻ縺ｩ縺ｨ蜷梧ｧ倥↓ $a_n = 3$ 繧帝勁縺・◆ $n-1$ 蛟九・鬆・ｒ豎ｺ螳壹☆繧後・繧医＞縲・縺薙ｌ縺ｯ縲√・1, 2, 3$ 縺ｮ $3$ 遞ｮ鬘槭・謨ｰ蟄励°繧峨・㍾隍・ｒ險ｱ縺励※ $n-1$ 蛟矩∈縺ｳ縲∝ｰ上＆縺・・↓荳ｦ縺ｹ繧九榊ｴ蜷医・謨ｰ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・㍾隍・ｵ・粋縺・${}3 \mathrm{H}{n-1}$ 縺ｨ縺励※險育ｮ励〒縺阪ｋ縲・

$$ A_n(3) = {}_3 \mathrm{H}_{n-1} = {}_{3+n-1-1}\mathrm{C}_{n-1} = {}_{n+1}\mathrm{C}_{n-1} = \frac{(n+1)n}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}n(n+1) $$

貍ｸ蛹門ｼ上・陦ｨ迴ｾ繧呈ｱゅａ繧峨ｌ縺ｦ縺・ｋ縺ｮ縺ｧ縲∝ｼ丞､牙ｽ｢縺ｫ繧医ｊ譚｡莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆繧医≧讒区・縺吶ｋ縲・

$$ {}_{n+1}\mathrm{C}_{n-1} = {}_{n+1}\mathrm{C}_{2} $$

繝代せ繧ｫ繝ｫ縺ｮ荳芽ｧ貞ｽ｢縺ｮ諤ｧ雉ｪ・・{}{m+1}\mathrm{C}{r} = {}m\mathrm{C}{r} + {}m\mathrm{C}{r-1}$・峨ｈ繧翫・

$$ {}_{n+1}\mathrm{C}_{2} = {}_n \mathrm{C}_{2} + {}_n \mathrm{C}_{1} $$

縺薙％縺ｧ縲・{}n \mathrm{C}{2} = A_{n-1}(3)$縲・n = A_{n-1}(2) + A_{n-1}(1)$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$$ A_n(3) = A_{n-1}(3) + A_{n-1}(2) + A_{n-1}(1) $$

縺ｨ陦ｨ縺吶％縺ｨ縺後〒縺阪ｋ縲・

隗｣隱ｬ

蜊倩ｪｿ髱樊ｸ帛ｰ代・謨ｰ蛻励↓髢｢縺吶ｋ蝣ｴ蜷医・謨ｰ縺ｯ縲・㍾隍・ｵ・粋縺・$\mathrm{H}$・医∪縺溘・縲・→莉募・繧翫・鬆・・・峨ｒ逕ｨ縺・ｋ縺ｮ縺悟ｮ夂浹縺ｧ縺ゅｋ縲ゅ＠縺九＠譛ｬ蝠上・ (1)(ii) 縺ｧ縺ｯ縲悟燕鬆・・蛟､縺ｫ繧医ｋ蝣ｴ蜷亥・縺代ｒ陦後▲縺ｦ貍ｸ蛹門ｼ上ｒ菴懊ｋ縲阪→縺・≧隱伜ｰ弱↓荵励ｋ蠢・ｦ√′縺ゅｋ縲よ忰蟆ｾ縺ｮ隕∫ｴ縺ｫ逹逶ｮ縺励※荳縺､謇句燕縺ｮ鬆・→縺ｮ髢｢菫ゅｒ遶句ｼ上☆繧玖・∴譁ｹ縺ｯ縲∫｢ｺ邇・ｼｸ蛹門ｼ上↑縺ｩ縺ｧ繧るｻ蜃ｺ縺ｮ驥崎ｦ√↑繧｢繝励Ο繝ｼ繝√〒縺ゅｋ縲・ (2) 縺ｯ譛蠕後・ $1$ 邂・園縺縺代〒蜊倩ｪｿ諤ｧ縺悟ｴｩ繧後ｋ迥ｶ豕√〒縺ゅｋ縲ゆｸ咲ｭ牙ｼ・$a_{n-1} > a_n$ 縺ｮ譚｡莉ｶ繧・$a_n$ 縺ｮ蛟､縺ｧ蜈ｷ菴鍋噪縺ｫ蝣ｴ蜷亥・縺代☆繧九％縺ｨ縺ｧ縲・1) 縺ｧ險ｭ螳壹＆繧後◆縲梧怙蠕後′蝗ｺ螳壹＆繧後◆蜊倩ｪｿ髱樊ｸ帛ｰ第焚蛻励阪・蛟区焚 $A_k(j)$ 縺ｫ蟶ｰ逹縺輔○繧九％縺ｨ縺後〒縺阪ｋ縲・