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北海道大学 2007年文系第4問解説

方針・初手

(1) 与えられた関数が定点を通るという条件から、その点の座標を式に代入し、$b$ について解く。 (2) 動く文字 $a$ に対して $y$ がどのような範囲をとるかを考えるため、「1文字固定法（ファクシミリの原理）」を用いる。誘導の通り、まず $x$ を固定の定数とみなし、$y$ を $a$ の関数として捉えて $a$ の変域における値域を調べる。 (3) (2) で得られた上下の境界線から定積分によって面積 $S$ を立式し、関数としての増減を微分を用いて調べる。

解法1

(1) 関数 $y = ax - bx^2$ のグラフが定点 $P(p, p^2)$ を通るから、

$$ p^2 = ap - bp^2 $$

が成り立つ。$0 < p < 1$ より $p \neq 0$ であるから、両辺を $p^2$ で割ると、

$$ 1 = \frac{a}{p} - b $$

したがって、$b$ を $a$ と $p$ を用いて表すと、

$$ b = \frac{a}{p} - 1 = \frac{a-p}{p} $$

(2) (i) (1)の結果から、$b = \frac{a-p}{p}$ を $y = ax - bx^2$ に代入すると、

$$ y = ax - \frac{a-p}{p} x^2 = \left( x - \frac{x^2}{p} \right) a + x^2 = \frac{x(p-x)}{p} a + x^2 $$

ここで、$0 \leqq x \leqq p$ において $x$ を固定された定数とみなすと、$y$ は $a$ についての1次関数と考えることができる。 $0 < p < 1$ かつ $0 \leqq x \leqq p$ より、$x \geqq 0$ かつ $p-x \geqq 0$ であるため、この1次関数の傾き $\frac{x(p-x)}{p}$ は $0$ 以上である。したがって、$p \leqq a \leqq 1$ の範囲において $y$ は $a$ に対して単調に増加（または定数）となる。ゆえに、$y$ が最小となるのは $a = p$ のときであり、その最小値は、

$$ y = \frac{x(p-x)}{p} \cdot p + x^2 = x(p-x) + x^2 = px $$

また、$y$ が最大となるのは $a = 1$ のときであり、その最大値は、

$$ y = \frac{x(p-x)}{p} \cdot 1 + x^2 = x - \frac{x^2}{p} + x^2 = x + \frac{p-1}{p} x^2 $$

よって、求める $y$ の動く範囲は、

$$ px \leqq y \leqq x + \frac{p-1}{p} x^2 $$

(ii) 領域 $D$ は、$0 \leqq x \leqq p$ の範囲において (i) で求めた不等式を満たす部分である。下端の境界線 $y = px$ は、原点 $(0,0)$ と点 $P(p, p^2)$ を結ぶ直線である。上端の境界線 $y = x + \frac{p-1}{p} x^2$ は、$0 < p < 1$ より $x^2$ の係数 $\frac{p-1}{p}$ が負であるため、上に凸の放物線の一部である。また、$x=0$ のとき $y=0$、$x=p$ のとき $y = p + \frac{p-1}{p} p^2 = p^2$ となるため、この放物線も原点 $(0,0)$ と点 $P(p, p^2)$ を通る。

$$ \left( x + \frac{p-1}{p} x^2 \right) - px = \frac{1-p}{p} x(p-x) \geqq 0 $$

であるから、区間 $0 \leqq x \leqq p$ において放物線は直線の上側にある。したがって、領域 $D$ を図示すると、以下の条件を満たす領域となる。

$0 \leqq x \leqq p$ の範囲
下端は原点と点 $P(p, p^2)$ を結ぶ線分
上端は原点と点 $P(p, p^2)$ を通る上に凸の放物線
境界線を含む

(3) (2)より、領域 $D$ の面積 $S$ は、

$$ S = \int_{0}^{p} \left\{ \left( x + \frac{p-1}{p} x^2 \right) - px \right\} dx $$

$$ S = \int_{0}^{p} \frac{1-p}{p} x(p-x) dx $$

$$ S = \frac{1-p}{p} \int_{0}^{p} (-x^2 + px) dx = \frac{1-p}{p} \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{p}{2}x^2 \right]_{0}^{p} $$

$$ S = \frac{1-p}{p} \left( -\frac{1}{3}p^3 + \frac{1}{2}p^3 \right) = \frac{1-p}{p} \cdot \frac{p^3}{6} = \frac{p^2(1-p)}{6} = \frac{p^2 - p^3}{6} $$

関数 $f(p) = p^2 - p^3$ とおき、$\frac{1}{2} \leqq p \leqq \frac{3}{4}$ における増減を調べる。

$$ f'(p) = 2p - 3p^2 = -3p \left( p - \frac{2}{3} \right) $$

$f'(p) = 0$ となるのは $p = 0, \frac{2}{3}$ のときである。 $\frac{1}{2} \leqq p \leqq \frac{3}{4}$ における $f(p)$ の増減表は次のようになる。

$p$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$\frac{3}{4}$
$f'(p)$		$+$	$0$	$-$
$f(p)$	$\frac{1}{8}$	$\nearrow$	極大 $\frac{4}{27}$	$\searrow$	$\frac{9}{64}$

各値の大小を比較する。

極大値は、

$$ f \left( \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^2 - \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27} $$

端点の値は、

$$ f \left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} = \frac{8}{64} $$

$$ f \left( \frac{3}{4} \right) = \left( \frac{3}{4} \right)^2 - \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{9}{16} - \frac{27}{64} = \frac{9}{64} $$

$\frac{8}{64} < \frac{9}{64}$ であるから、$f(p)$ の最大値は $\frac{4}{27}$、最小値は $\frac{1}{8}$ となる。面積 $S$ は $S = \frac{f(p)}{6}$ であるから、求める最大値と最小値は、

最大値： $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{27} = \frac{2}{81}$ （$p = \frac{2}{3}$ のとき）最小値： $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{48}$ （$p = \frac{1}{2}$ のとき）

解説

関数の通過領域（ファクシミリの原理）を扱う典型的な問題である。動く文字 $a$ と、変数の $x, y$ が混在しているため、何を固定して何を動かすのかを明確に意識することが重要になる。本問は(2)(i)で「$x$ を固定して」と親切な誘導があるため、それに従って $y$ を $a$ の関数として捉えればよい。$x$ を固定したとき、$y$ は $a$ の1次関数となるため、傾きの符号を確認して定義域の両端の値を代入するだけで値域が求まる。面積計算においては、被積分関数が因数分解された形になるため、そのまま展開して積分するほか、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ の公式（$1/6$ 公式）を利用して計算を簡略化することも可能である。