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北海道大学 2012年文系第1問解説

方針・初手

点 $P, Q, S, T$ の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表す。「内分点」「外分点」の公式を用いてそれぞれを正しく立式することが初手である。(2)では、「$3$点 $O, S, T$ が一直線上にある」という共線条件を、$\overrightarrow{OS} = k\overrightarrow{OT}$ となる実数 $k$ が存在することとして立式し、$\vec{a}, \vec{b}$ の一次独立性を用いて係数比較を行う。

解法1

(1)

点 $Q$ は辺 $OB$ を $n:m$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{n}{n+m}\overrightarrow{OB} = \frac{n}{m+n}\vec{b} $$

点 $S$ は線分 $AQ$ を $1:x$ に外分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{-x\overrightarrow{OA} + 1\cdot\overrightarrow{OQ}}{1-x} $$

これに $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ および先ほど求めた $\overrightarrow{OQ}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OS} &= \frac{-x\vec{a} + \frac{n}{m+n}\vec{b}}{1-x} \\ &= -\frac{x}{1-x}\vec{a} + \frac{n}{(1-x)(m+n)}\vec{b} \end{aligned} $$

(2)

点 $P$ は辺 $OA$ を $m:n$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA} = \frac{m}{m+n}\vec{a} $$

点 $T$ は線分 $BP$ を $1:x$ に外分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OT} = \frac{-x\overrightarrow{OB} + 1\cdot\overrightarrow{OP}}{1-x} $$

これに $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ と $\overrightarrow{OP}$ を代入して、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OT} &= \frac{-x\vec{b} + \frac{m}{m+n}\vec{a}}{1-x} \\ &= \frac{m}{(1-x)(m+n)}\vec{a} - \frac{x}{1-x}\vec{b} \end{aligned} $$

$3$ 点 $O, S, T$ が一直線上にあるための条件は、$\overrightarrow{OS} = k\overrightarrow{OT}$ を満たす実数 $k$ が存在することである。

$$ -\frac{x}{1-x}\vec{a} + \frac{n}{(1-x)(m+n)}\vec{b} = k\left( \frac{m}{(1-x)(m+n)}\vec{a} - \frac{x}{1-x}\vec{b} \right) $$

$\triangle OAB$ が存在することから $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ であり、かつ $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではない（一次独立である）。したがって、両辺の $\vec{a}, \vec{b}$ の係数を比較することができて、

$$ \begin{cases} -\frac{x}{1-x} = \frac{km}{(1-x)(m+n)} \\ \frac{n}{(1-x)(m+n)} = -\frac{kx}{1-x} \end{cases} $$

$0 < x < 1$ より $1-x \neq 0$ であるから、両辺に $1-x$ を掛けて整理すると、

$$ \begin{cases} -x = \frac{km}{m+n} \quad \cdots ① \\ \frac{n}{m+n} = -kx \quad \cdots ② \end{cases} $$

$0 < x < 1$ より $x \neq 0$ なので、②より $k = -\frac{n}{x(m+n)}$ となる。これを①に代入して、

$$ -x = -\frac{n}{x(m+n)} \cdot \frac{m}{m+n} $$

$$ -x = -\frac{mn}{x(m+n)^2} $$

$$ x^2 = \frac{mn}{(m+n)^2} $$

$0 < x < 1$ より $x > 0$ であるから、

$$ x = \frac{\sqrt{mn}}{m+n} $$

ここで、得られた $x$ が $0 < x < 1$ を満たすか確認する。 $m > 0, n > 0$ であるから $x > 0$ は満たされる。また、相加平均と相乗平均の大小関係より、$\frac{m+n}{2} \geqq \sqrt{mn}$ であるから、

$$ \frac{\sqrt{mn}}{m+n} \leqq \frac{1}{2} < 1 $$

したがって、$0 < x < 1$ を満たす。

解説

ベクトルの内分点・外分点の公式を利用して位置ベクトルを表現し、共線条件（$3$点が一直線上にある条件）を処理する平面ベクトルの典型問題である。係数比較によって得られた連立方程式から $k$ を消去して $x$ を求める過程は基本的だが、求値の後に $0 < x < 1$ という条件を満たすかどうかの確認（相加・相乗平均の関係などを利用）を記述することが、解答の論理的完結性のために求められる。