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九州大学 2011年文系第3問解説

方針・初手

ベクトル方程式の処理と、図形的性質の翻訳が問われる問題です。 (1) は与えられた等式を変形し、位置ベクトルの基本公式に当てはめます。 (2) は「直角三角形の斜辺」という条件から、外接円の中心と半径の性質を引き出します。また、ベクトルの絶対値の2乗の和は、中点を経由するベクトルに分解して展開するのが定石です。 (3) は、式に複数の点が混在しているため、基準となる点（本問では点 $O$）に始点を統一して展開します。

解法1

(1)

与えられた等式を変形すると、以下のようになる。

$$ 4\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $$

ここで、辺 $BC$ の中点が $M$ であるから、中点の位置ベクトルの公式より以下が成り立つ。

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} $$

すなわち、 $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OM}$ である。これを最初の式に代入する。

$$ 4\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{OM} $$

両辺を $4$ で割ることで、次式を得る。

$$ \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OM} $$

これは、点 $A$ が線分 $OM$ を $1:1$ に内分する点、すなわち線分 $OM$ の中点であることを示している。（証明終）

(2)

$\triangle ABC$ は $\angle A = 90^\circ$ の直角三角形であり、その斜辺 $BC$ の長さは $2$ である。直角三角形の性質より、斜辺の中点 $M$ は $\triangle ABC$ の外接円の中心となり、点 $A, B, C$ は $M$ を中心とする半径 $1$ の円周上にある。したがって、以下の長さが求まる。

$$ AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC = 1 $$

(1) の結果より、点 $A$ は線分 $OM$ の中点であるから、点 $O, A, M$ はこの順に同一直線上にあり、$OA = AM = 1$ である。よって、線分 $OM$ の長さは以下のようになる。

$$ OM = OA + AM = 1 + 1 = 2 $$

次に、求める式を点 $M$ を経由するベクトルに分解して計算する。$\overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{MB}$ であることに注意する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OC}|^2 &= |\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}|^2 + |\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC}|^2 \\ &= |\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}|^2 + |\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{MB}|^2 \\ &= \left( |\overrightarrow{OM}|^2 + 2\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{MB} + |\overrightarrow{MB}|^2 \right) + \left( |\overrightarrow{OM}|^2 - 2\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{MB} + |\overrightarrow{MB}|^2 \right) \\ &= 2(|\overrightarrow{OM}|^2 + |\overrightarrow{MB}|^2) \end{aligned} $$

（※これは中線定理そのものである。）

ここに $|\overrightarrow{OM}| = 2$、$|\overrightarrow{MB}| = 1$ を代入する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OC}|^2 &= 2(2^2 + 1^2) \\ &= 2(4 + 1) \\ &= 10 \end{aligned} $$

よって、示された。（証明終）

(3)

与えられた等式のベクトルの始点を、すべて点 $O$ に統一して展開する。

$$ 4|\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}|^2 - |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}|^2 - |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP}|^2 = -4 $$

左辺を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} & 4\left( |\overrightarrow{OA}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} + |\overrightarrow{OP}|^2 \right) \\ & - \left( |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP} + |\overrightarrow{OP}|^2 \right) \\ & - \left( |\overrightarrow{OC}|^2 - 2\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OP} + |\overrightarrow{OP}|^2 \right) \\ &= 2|\overrightarrow{OP}|^2 - 2(4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) \cdot \overrightarrow{OP} + 4|\overrightarrow{OA}|^2 - (|\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OC}|^2) \end{aligned} $$

問題の条件より $4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \vec{0}$ であるため、 $\overrightarrow{OP}$ の1次の項は消去される。さらに、(2) の過程より $|\overrightarrow{OA}| = 1$、および結果より $|\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OC}|^2 = 10$ であるから、これらを代入する。

$$ 2|\overrightarrow{OP}|^2 - 0 + 4 \cdot 1^2 - 10 = -4 $$

$$ 2|\overrightarrow{OP}|^2 - 6 = -4 $$

$$ 2|\overrightarrow{OP}|^2 = 2 $$

$$ |\overrightarrow{OP}|^2 = 1 $$

$|\overrightarrow{OP}| \geqq 0$ であるから、以下を得る。

$$ |\overrightarrow{OP}| = 1 $$

解説

図形の性質とベクトルの計算をバランスよく用いる総合問題です。 (2) において「直角三角形の斜辺の中点は、外心に一致する（頂点までの距離が等しい）」という図形の基本性質をスムーズに引き出せるかが最大のポイントです。この性質に気づけないと、長さの条件が足りずに詰まってしまいます。 (3) はベクトル方程式の定石である「始点の統一」を行います。問題文で最初に与えられた条件式 $4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \vec{0}$ が、展開後の式をきれいに簡略化するための巧妙な伏線になっていることがわかります。