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北海道大学 2012年文系第2問解説

方針・初手

与えられた式には $\cos 2\theta$ と $\sin \theta$ が混在しているため、三角関数の倍角の公式を用いてすべて $\sin \theta$ で表すことから始める。(2) では (1) で置換した変数 $x$ のとりうる値の範囲に注意しつつ、微分を用いて 3 次関数の最大値・最小値を求める。

解法1

(1)

倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いる。$x = \sin \theta$ であるから、$\cos 2\theta = 1 - 2x^2$ と表せる。

これを $f(\theta)$ に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} f(\theta) &= 4 \cos 2\theta \sin \theta + 3\sqrt{2} \cos 2\theta - 4 \sin \theta \\ &= 4(1 - 2x^2)x + 3\sqrt{2}(1 - 2x^2) - 4x \\ &= 4x - 8x^3 + 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2}x^2 - 4x \\ &= -8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果を $g(x)$ とおく。すなわち、$g(x) = -8x^3 - 6\sqrt{2}x^2 + 3\sqrt{2}$ とする。

$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、$x = \sin \theta$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$ -1 \leqq x \leqq 1 $$

この区間における $g(x)$ の増減を調べるために、導関数を求める。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= -24x^2 - 12\sqrt{2}x \\ &= -12x(2x + \sqrt{2}) \end{aligned} $$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。これらはどちらも区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ に含まれる。

極値および区間の両端での関数値は以下の通りである。

$x = -1$ のとき、

$$ \begin{aligned} g(-1) &= -8(-1)^3 - 6\sqrt{2}(-1)^2 + 3\sqrt{2} \\ &= 8 - 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、

$$ \begin{aligned} g\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= -8\left(-\frac{2\sqrt{2}}{8}\right) - 6\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right) + 3\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned} $$

$x = 0$ のとき、

$$ g(0) = 3\sqrt{2} $$

$x = 1$ のとき、

$$ \begin{aligned} g(1) &= -8(1)^3 - 6\sqrt{2}(1)^2 + 3\sqrt{2} \\ &= -8 - 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

これらの値の大小を比較する。最大値の候補は $g(-1) = 8 - 3\sqrt{2}$ と $g(0) = 3\sqrt{2}$ である。これらの差をとると、

$$ 3\sqrt{2} - (8 - 3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 8 = \sqrt{72} - \sqrt{64} > 0 $$

したがって、$3\sqrt{2} > 8 - 3\sqrt{2}$ であり、最大値は $3\sqrt{2}$ である。

また、最小値の候補は $g\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2} > 0$ と $g(1) = -8 - 3\sqrt{2} < 0$ であり、明らかに最小値は $-8 - 3\sqrt{2}$ である。

最大・最小を与える $x$ の値に対応する $\theta$ の値を求める。$-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ であることに注意する。

$x = 0$ のとき、$\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$。

$x = 1$ のとき、$\sin \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$。

解説

三角関数の式を一つの関数（今回は $\sin \theta$）で統一し、置換による関数化を行う典型問題である。$\sin \theta$ を $x$ と置いた際に、$x$ の定義域（$-1 \leqq x \leqq 1$）を正確に求めることが重要である。また、3 次関数の増減を調べる過程で、区間の端点と極値の大小比較（無理数の大小比較）を丁寧に行う必要がある。