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北海道大学 1961年理系第1問解説

方針・初手

(1) は三角形の相似や円の性質を用いる幾何的なアプローチ、または余弦定理を用いて代数的に計算するアプローチが考えられる。(2) は角の二等分線の定理を直接適用する。(3) は (1) の関係式に (2) の結果を代入して整理することで求められる。

解法1

(1)

$\triangle ABC$ の外接円を描き、直線 $AD$ と外接円の交点のうち $A$ でない方を $E$ とする。

$\triangle ABD$ と $\triangle AEC$ において、$AD$ は $\angle A$ の二等分線であるから、

$$ \angle BAD = \angle EAC $$

弧 $AC$ に対する円周角は等しいから、

$$ \angle ABD = \angle AEC $$

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ である。

相似な図形の対応する辺の比は等しいから、

$$ AB : AE = AD : AC $$

$$ AB \cdot AC = AD \cdot AE $$

ここで、$AE = AD + DE$ であるから、

$$ AB \cdot AC = AD (AD + DE) = AD^2 + AD \cdot DE $$

また、外接円において弦 $BC$ と弦 $AE$ が点 $D$ で交わるから、方べきの定理より、

$$ AD \cdot DE = BD \cdot CD $$

したがって、

$$ AB \cdot AC = AD^2 + BD \cdot CD $$

が成り立つ。

(2)

$AD$ は $\angle A$ の二等分線であるから、角の二等分線の定理より、

$$ BD : CD = AB : AC = c : b $$

また、$BD + CD = BC = a$ である。

したがって、$BD$ の長さは、線分 $BC$ を $c : b$ に内分する長さとなるので、

$$ BD = \frac{c}{b + c} a = \frac{ca}{b + c} $$

(3)

(1) の結果より、

$$ AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot CD $$

が成り立つ。

(2) と同様に考えると、$CD = \frac{b}{b + c} a = \frac{ab}{b + c}$ である。

これらを与式に代入すると、

$$ \begin{aligned} AD^2 &= bc - \frac{ca}{b + c} \cdot \frac{ab}{b + c} \\ &= bc - \frac{a^2 bc}{(b + c)^2} \\ &= bc \left\{ 1 - \frac{a^2}{(b + c)^2} \right\} \\ &= \frac{bc \left\{ (b + c)^2 - a^2 \right\}}{(b + c)^2} \end{aligned} $$

$AD > 0$、$b+c > 0$ であるから、

$$ AD = \frac{\sqrt{bc \left\{ (b + c)^2 - a^2 \right\}}}{b + c} $$

解法2

(1) の別解

$\angle ADB = \alpha$ とおくと、$\angle ADC = 180^\circ - \alpha$ である。

$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ において、それぞれ余弦定理を用いると、

$$ c^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD \cdot BD \cos \alpha $$

$$ b^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos (180^\circ - \alpha) $$

$\cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ であるから、第2式は次のように変形できる。

$$ b^2 = AD^2 + CD^2 + 2AD \cdot CD \cos \alpha $$

$\cos \alpha$ を消去するため、第1式の両辺に $CD$ を、第2式の両辺に $BD$ を掛けて辺々を加えると、

$$ c^2 CD + b^2 BD = AD^2 (CD + BD) + BD^2 CD + CD^2 BD $$

$$ c^2 CD + b^2 BD = AD^2 (BD + CD) + BD \cdot CD (BD + CD) $$

$BD + CD = BC = a$ であるから、

$$ c^2 CD + b^2 BD = a(AD^2 + BD \cdot CD) $$

一方、角の二等分線の定理より $BD : CD = c : b$ であるから、$b \cdot BD = c \cdot CD$ が成り立つ。これを用いて左辺を変形すると、

$$ c^2 CD + b^2 BD = c(c \cdot CD) + b(b \cdot BD) = c(b \cdot BD) + b(c \cdot CD) = bc(BD + CD) = abc $$

したがって、

$$ abc = a(AD^2 + BD \cdot CD) $$

$a > 0$ より両辺を $a$ で割ると、

$$ bc = AD^2 + BD \cdot CD $$

すなわち、

$$ AB \cdot AC = AD^2 + BD \cdot CD $$

が成り立つ。

解説

(1)の等式は、角の二等分線の長さを求める公式として有名なものであり、結果を記憶しておくと検算に役立つ。解法1のように外接円をイメージできれば方べきの定理から自然に導出できる。解法2はスチュワートの定理の証明と同様の手法であり、余弦定理を用いて角度の情報を消去するという代数的な処理の良い練習となる。