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名古屋大学 1966年理系第2問解説

注意画像に図が含まれておらず、特に「図における点 C の位置関係や直角の指定」の読取りに不確実性があります。以下は、図形の典型的な設定として「$\angle OBC = 90^\circ$ の直角三角形が描かれている」として解釈した場合の解答解説です。

方針・初手

与えられた角度と辺の長さから、まず線分 $OB$ の長さを求めることを目指す。図において $\triangle OBC$ が直角三角形であると仮定し、三角比を用いて $OB$ を求めたのち、$\triangle OAB$ に対して三平方の定理を適用する。

解法1

画像に図が与えられていないため、ここでは $\triangle OBC$ が $\angle OBC = 90^\circ$ の直角三角形である場合について解答する。

直角三角形 $OBC$ において、$\angle BOC = 30^\circ$、$BC = 1$ であるから、正接（タンジェント）の定義より以下の式が成り立つ。

$$\tan \angle BOC = \frac{BC}{OB}$$

$$\tan 30^\circ = \frac{1}{OB}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{OB}$$

これより、線分 $OB$ の長さは次のように求まる。

$$OB = \sqrt{3}$$

次に、$\triangle OAB$ に着目する。問題文より $\angle AOB = 90^\circ$ であるため、$\triangle OAB$ は直角三角形である。三平方の定理より、以下の等式が成り立つ。

$$AB^2 = OA^2 + OB^2$$

問題の条件 $OA = 1$ と、先ほど求めた $OB = \sqrt{3}$ を代入する。

$$AB^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$$

$$AB^2 = 1 + 3 = 4$$

辺の長さは正であるから、$AB > 0$ より以下のようになる。

$$AB = 2$$

解説

本問は、図に示された情報を正確に読み取り、三角比と三平方の定理を組み合わせて順に辺の長さを求めていく基本的な図形問題である。

今回は図が欠落していたため $\angle OBC = 90^\circ$ を仮定したが、もし実際の図が「$\angle OCB = 90^\circ$」を示していた場合は用いる三角比が変わる。その場合は正弦（サイン）を用いて $\sin 30^\circ = \frac{BC}{OB}$ となり、$OB = 2$ が導かれるため、結果として $AB = \sqrt{5}$ となる。問題図に付記された直角記号の位置を正しく把握し、適切な関係式を立てることが重要である。