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北海道大学 1961年理系第2問解説

方針・初手

与えられた式 $y = ax + 2a + 1$ は、$x$ についての1次以下の関数である。直線（または横に平らな定数関数）のグラフをイメージし、区間における最大・最小は両端点に注目して処理するのが基本方針となる。

(1) および (2) は $x$ を変数とみて、$f(x) = ax + 2a + 1$ の端点における符号を調べる。 (3) は見方を逆転させ、$a$ についての関数 $g(a) = (x+2)a + 1$ として捉え、与えられた $a$ の区間で常に正となる条件を考える。

解法1

$f(x) = ax + 2a + 1$ とする。これは $x$ についての1次以下の関数である。

(1)

$-1 < x < 1$ の範囲で常に $f(x) > 0$ となるための条件は、直線がこの開区間で $x$ 軸より上にあることである。すなわち、両端に近づくときの極限値が $0$ 以上であればよいので、$f(-1) \geqq 0$ かつ $f(1) \geqq 0$ が条件となる。

$$ f(-1) = -a + 2a + 1 = a + 1 \geqq 0 $$

これより $a \geqq -1$ を得る。

$$ f(1) = a + 2a + 1 = 3a + 1 \geqq 0 $$

これより $a \geqq -\frac{1}{3}$ を得る。これらを同時に満たす範囲を求めて、

$$ a \geqq -\frac{1}{3} $$

(2)

$-1 \leqq x \leqq 1$ で正の値と負の値を必ずとるための条件は、区間の両端で異符号になることである。すなわち $f(-1)f(1) < 0$ となればよい。

$$ (a + 1)(3a + 1) < 0 $$

この2次不等式を解いて、

$$ -1 < a < -\frac{1}{3} $$

(3)

$y = ax + 2a + 1$ を $a$ について整理すると、

$$ y = (x + 2)a + 1 $$

となる。これを $a$ についての1次以下の関数とみなし、$g(a) = (x + 2)a + 1$ とする。問題の条件は、「$-\frac{1}{6} < a < 1$ の範囲のすべての $a$ に対して $g(a) > 0$ となる」ことである。これも開区間における1次以下の関数の符号条件であるから、両端の極限値が $0$ 以上であればよい。すなわち、$g\left(-\frac{1}{6}\right) \geqq 0$ かつ $g(1) \geqq 0$ である。

$$ g\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{6}(x + 2) + 1 \geqq 0 $$

これを解くと、

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{6}(x + 2) &\geqq -1 \\ x + 2 &\leqq 6 \\ x &\leqq 4 \end{aligned} $$

また、

$$ g(1) = (x + 2) \cdot 1 + 1 \geqq 0 $$

これを解くと、

$$ x \geqq -3 $$

両方の条件を同時に満たす範囲を求めて、

$$ -3 \leqq x \leqq 4 $$

解法2

関数の傾きの符号によって場合分けを行い、グラフの単調性から解くこともできる。

(1)

$f(x) = ax + 2a + 1$ とする。傾き $a$ の符号で場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき

$f(x)$ は単調増加関数であるため、$-1 < x < 1$ で $f(x) > 0$ となる条件は $f(-1) \geqq 0$ である。

$$ a + 1 \geqq 0 \implies a \geqq -1 $$

$a > 0$ との共通範囲をとって $a > 0$ である。

(ii) $a = 0$ のとき

$f(x) = 1$ となり、$-1 < x < 1$ で常に $f(x) > 0$ を満たす。

(iii) $a < 0$ のとき

$f(x)$ は単調減少関数であるため、$-1 < x < 1$ で $f(x) > 0$ となる条件は $f(1) \geqq 0$ である。

$$ 3a + 1 \geqq 0 \implies a \geqq -\frac{1}{3} $$

$a < 0$ との共通範囲をとって $-\frac{1}{3} \leqq a < 0$ である。

(i)〜(iii) を合わせて、求める範囲は

$$ a \geqq -\frac{1}{3} $$

(3)

$y = g(a) = (x + 2)a + 1$ とおく。傾き $(x+2)$ の符号で場合分けを行う。

(i) $x + 2 > 0$ すなわち $x > -2$ のとき

$g(a)$ は $a$ について単調増加である。$-\frac{1}{6} < a < 1$ で $g(a) > 0$ となる条件は $g\left(-\frac{1}{6}\right) \geqq 0$ である。

$$ -\frac{1}{6}(x + 2) + 1 \geqq 0 \implies x \leqq 4 $$

$x > -2$ と合わせて $-2 < x \leqq 4$ を得る。

(ii) $x + 2 = 0$ すなわち $x = -2$ のとき

$g(a) = 1$ となり、条件を満たす。

(iii) $x + 2 < 0$ すなわち $x < -2$ のとき

$g(a)$ は $a$ について単調減少である。$-\frac{1}{6} < a < 1$ で $g(a) > 0$ となる条件は $g(1) \geqq 0$ である。

$$ x + 2 + 1 \geqq 0 \implies x \geqq -3 $$

$x < -2$ と合わせて $-3 \leqq x < -2$ を得る。

(i)〜(iii) を合わせて、求める範囲は

$$ -3 \leqq x \leqq 4 $$

解説

1次関数の値域や不等式に関する頻出の基本問題である。

(1) においては定義域が $-1 < x < 1$ と開区間である点に注意する。仮に $f(-1) = 0$ であったとしても、直線が右上がり（$a > 0$）であれば、区間内では $f(x) > 0$ となり条件を満たす。そのため、端点での値は $0$ でもよく、不等号に等号が含まれる（$f(-1) \geqq 0$）点に気をつけたい。

(2) は「正の値と負の値をとる」という条件を「端点の値が異符号になる」と言い換えることができれば、場合分けをせずとも容易に2次不等式に帰着できる。

(3) は本問の肝となる部分である。「定数 $a$ に対して条件を満たす $x$ を探す」のが通常の関数の見方だが、「ある変数の範囲で常に成り立つ」という条件を処理するためには、主客を転倒させ「$a$ を独立変数、$x$ を定数」とみなす発想が必要になる。これに気づければ (1) と全く同じ構造の1次関数の問題として処理できる。