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北海道大学 1963年理系第2問解説

方針・初手

与えられた3つの関係式のうち、(1)と(2)は等式であり、(3)は不等式である。まずは2つの等式を用いて変数を消去し、1変数（たとえば $x$）の関数に帰着させることを考える。得られた $x$ の式を不等式(3)に代入して $x$ のとりうる値の範囲（定義域）を求め、その範囲において目的関数 $x^2 - y - z$ の最大値と最小値を二次関数の問題として処理する。

解法1

関係式(1)、(2)は以下の通りである。

$$ x - 4y + 3z = 2 \cdots (1) $$

$$ -2x + y + z = 3 \cdots (2) $$

(1)、(2)より $y$ と $z$ を $x$ の式で表す。(1) から (2) の辺々を3倍したものを引くと、

$$ (x - 4y + 3z) - 3(-2x + y + z) = 2 - 9 $$

$$ 7x - 7y = -7 $$

これより、

$$ y = x + 1 $$

を得る。これを(2)に代入すると、

$$ -2x + (x + 1) + z = 3 $$

$$ -x + 1 + z = 3 $$

$$ z = x + 2 $$

となる。したがって、$y$ と $z$ は次のように表される。

$$ y = x + 1 \cdots (4) $$

$$ z = x + 2 \cdots (5) $$

次に、(4)、(5)を不等式(3)に代入し、$x$ のとりうる値の範囲を求める。不等式(3)は以下の2つの不等式からなる。

$$ 7x - yz + 2 \leqq z - x \cdots (3\text{a}) $$

$$ z - x \leqq \frac{z + 6}{y + 1} \cdots (3\text{b}) $$

まず、(3a)について、(4)、(5)を代入すると、

$$ 7x - (x + 1)(x + 2) + 2 \leqq (x + 2) - x $$

$$ 7x - (x^2 + 3x + 2) + 2 \leqq 2 $$

$$ -x^2 + 4x \leqq 2 $$

$$ x^2 - 4x + 2 \geqq 0 $$

$x^2 - 4x + 2 = 0$ の解は $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$ であるから、この不等式の解は、

$$ x \leqq 2 - \sqrt{2}, \quad 2 + \sqrt{2} \leqq x \cdots (6) $$

となる。

次に、(3b)について、(4)、(5)を代入すると、

$$ (x + 2) - x \leqq \frac{(x + 2) + 6}{(x + 1) + 1} $$

$$ 2 \leqq \frac{x + 8}{x + 2} $$

ここで、右辺の分母に $x + 2$ があるため、$x + 2 \neq 0$ すなわち $x \neq -2$ であることに注意して、両辺に $(x + 2)^2\ (> 0)$ を掛けて解くか、分母の符号で場合分けを行う。今回は場合分けを行う。

(i) $x + 2 > 0$ すなわち $x > -2$ のとき

両辺に正の数 $x + 2$ を掛けて、

$$ 2(x + 2) \leqq x + 8 $$

$$ 2x + 4 \leqq x + 8 $$

$$ x \leqq 4 $$

条件 $x > -2$ と合わせて、$-2 < x \leqq 4$ となる。

(ii) $x + 2 < 0$ すなわち $x < -2$ のとき

両辺に負の数 $x + 2$ を掛けると不等号の向きが変わり、

$$ 2(x + 2) \geqq x + 8 $$

$$ 2x + 4 \geqq x + 8 $$

$$ x \geqq 4 $$

これは条件 $x < -2$ と矛盾するため、解はない。

(i)、**(ii)**より、(3b)の解は、

$$ -2 < x \leqq 4 \cdots (7) $$

となる。(6)と(7)の共通範囲をとると、$x$ の定義域は、

$$ -2 < x \leqq 2 - \sqrt{2}, \quad 2 + \sqrt{2} \leqq x \leqq 4 \cdots (8) $$

となる。

次に、目的関数 $x^2 - y - z$ を $x$ の関数として $f(x)$ とおき、(4)、(5)を代入する。

$$ f(x) = x^2 - (x + 1) - (x + 2) $$

$$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $$

$$ f(x) = (x - 1)^2 - 4 $$

関数 $f(x)$ は、軸が直線 $x = 1$、頂点が $(1, -4)$ の下に凸の放物線である。(8)で求めた定義域における $f(x)$ の最大値と最小値を調べる。

定義域の端点および極限における $f(x)$ の値は以下のようになる。

$$ \lim_{x \to -2 + 0} f(x) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 $$

$$ f(2 - \sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})^2 - 2(2 - \sqrt{2}) - 3 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 - 4 + 2\sqrt{2} - 3 = -1 - 2\sqrt{2} $$

$$ f(2 + \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})^2 - 2(2 + \sqrt{2}) - 3 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 4 - 2\sqrt{2} - 3 = -1 + 2\sqrt{2} $$

$$ f(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 $$

軸 $x = 1$ は定義域に含まれず、定義域は軸より左側の区間（$-2 < x \leqq 2 - \sqrt{2}$）と右側の区間（$2 + \sqrt{2} \leqq x \leqq 4$）に分かれている。放物線は軸から遠ざかるほど値が大きくなるため、各区間の端点での値を比較する。

最大値については、$x \to -2$ の極限値が $5$（白丸）であり、$x = 4$ のときの値が $5$（黒丸）であるため、最大値は $5$ であり、そのときの $x$ の値は $x = 4$ である。

最小値については、$-1 - 2\sqrt{2} < -1 + 2\sqrt{2}$ であるから、最小値は $-1 - 2\sqrt{2}$ であり、そのときの $x$ の値は $x = 2 - \sqrt{2}$ である。

最後に、最大および最小となるときの $y, z$ の値を求める。

最大となるとき、$x = 4$ であり、(4)、(5)より、

$$ y = 4 + 1 = 5 $$

$$ z = 4 + 2 = 6 $$

最小となるとき、$x = 2 - \sqrt{2}$ であり、(4)、(5)より、

$$ y = (2 - \sqrt{2}) + 1 = 3 - \sqrt{2} $$

$$ z = (2 - \sqrt{2}) + 2 = 4 - \sqrt{2} $$

解説

条件式が複数与えられた多変数の最大・最小問題では、等式を用いて変数を消去し、独立変数を減らすことが定石である。本問では2つの等式により実質的な変数は1つとなる。変数を消去した後は、消去された変数が元々満たすべき条件（実数であることや、与えられた不等式など）から、残った変数のとりうる値の範囲（定義域）を忘れずに求めることが最重要ポイントである。不等式を解く際、分母に文字を含む場合は、分母の正負による場合分けが必須となる点に注意が必要である。