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東京工業大学 1968年理系第2問解説

方針・初手

与えられた不等式がすべての実数 $x$ に対して成り立つ条件を求める問題である。

分母の $x^2 + bx + b^2$ について平方完成を行うと、

$$ x^2 + bx + b^2 = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}b^2 $$

となる。$b \neq 0$ であるから、すべての実数 $x$ に対して $x^2 + bx + b^2 > 0$ であることがわかる。したがって、不等式の各辺に分母を掛けても不等号の向きは変わらず、分母を払った $x$ についての2次不等式が常に成り立つ条件を考えればよい。

また、与えられた不等式が $x, a, b$ についての2次同次式のような形をしていることに着目し、$x = bt$ と置き換えて1変数関数に帰着させる解法も有効である。

解法1

分母はすべての実数 $x$ に対して $x^2 + bx + b^2 > 0$ であるため、与えられた不等式の各辺に $3(x^2 + bx + b^2) > 0$ を掛ける。

$$ x^2 + bx + b^2 \leqq 3(x^2 - ax + a^2) \leqq 9(x^2 + bx + b^2) $$

この不等式は、以下の2つの不等式が同時に成り立つことと同値である。

$$ \begin{cases} x^2 + bx + b^2 \leqq 3(x^2 - ax + a^2) & \cdots \text{(A)} \\ 3(x^2 - ax + a^2) \leqq 9(x^2 + bx + b^2) & \cdots \text{(B)} \end{cases} $$

(i) 不等式 (A) について

整理すると、

$$ 2x^2 - (3a + b)x + 3a^2 - b^2 \geqq 0 $$

これがすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件は、この $x$ についての2次方程式の判別式を $D_1$ とすると、$D_1 \leqq 0$ となることである。

$$ D_1 = (3a + b)^2 - 8(3a^2 - b^2) \leqq 0 $$

$$ 9a^2 + 6ab + b^2 - 24a^2 + 8b^2 \leqq 0 $$

$$ -15a^2 + 6ab + 9b^2 \leqq 0 $$

両辺を $-3$ で割って因数分解する。

$$ 5a^2 - 2ab - 3b^2 \geqq 0 $$

$$ (5a + 3b)(a - b) \geqq 0 $$

ここで、$b \neq 0$ より $b^2 > 0$ であるから、両辺を $b^2$ で割る。

$$ 5\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 2\left(\frac{a}{b}\right) - 3 \geqq 0 $$

$$ \left(5\frac{a}{b} + 3\right)\left(\frac{a}{b} - 1\right) \geqq 0 $$

よって、

$$ \frac{a}{b} \leqq -\frac{3}{5}, \quad 1 \leqq \frac{a}{b} \quad \cdots \text{(1)} $$

(ii) 不等式 (B) について

整理すると、

$$ x^2 - ax + a^2 \leqq 3x^2 + 3bx + 3b^2 $$

$$ 2x^2 + (a + 3b)x - a^2 + 3b^2 \geqq 0 $$

これがすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件は、この $x$ についての2次方程式の判別式を $D_2$ とすると、$D_2 \leqq 0$ となることである。

$$ D_2 = (a + 3b)^2 - 8(-a^2 + 3b^2) \leqq 0 $$

$$ a^2 + 6ab + 9b^2 + 8a^2 - 24b^2 \leqq 0 $$

$$ 9a^2 + 6ab - 15b^2 \leqq 0 $$

両辺を $3$ で割って因数分解する。

$$ 3a^2 + 2ab - 5b^2 \leqq 0 $$

$$ (3a + 5b)(a - b) \leqq 0 $$

両辺を $b^2 > 0$ で割る。

$$ 3\left(\frac{a}{b}\right)^2 + 2\left(\frac{a}{b}\right) - 5 \leqq 0 $$

$$ \left(3\frac{a}{b} + 5\right)\left(\frac{a}{b} - 1\right) \leqq 0 $$

よって、

$$ -\frac{5}{3} \leqq \frac{a}{b} \leqq 1 \quad \cdots \text{(2)} $$

(iii) 共通範囲の計算

(1) と (2) が同時に成り立つ $\frac{a}{b}$ の範囲を求める。

$-\frac{5}{3} = -\frac{25}{15}$、$-\frac{3}{5} = -\frac{9}{15}$ より $-\frac{5}{3} < -\frac{3}{5}$ であることに注意して共通範囲をとると、

$$ -\frac{5}{3} \leqq \frac{a}{b} \leqq -\frac{3}{5}, \quad \frac{a}{b} = 1 $$

解法2

$b \neq 0$ より $x = bt$ とおく。$x$ がすべての実数を動くとき、$t$ もすべての実数を動く。また、$\frac{a}{b} = k$ とおくと、$a = bk$ である。

これらを与えられた不等式に代入する。

$$ \frac{1}{3} \leqq \frac{b^2t^2 - b^2kt + b^2k^2}{b^2t^2 + b^2t + b^2} \leqq 3 $$

分母分子を $b^2 (> 0)$ で割る。

$$ \frac{1}{3} \leqq \frac{t^2 - kt + k^2}{t^2 + t + 1} \leqq 3 $$

分母は $t^2 + t + 1 = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ であるため、各辺に $3(t^2 + t + 1) > 0$ を掛ける。

$$ t^2 + t + 1 \leqq 3(t^2 - kt + k^2) \leqq 9(t^2 + t + 1) $$

この不等式は、以下の2つの不等式が同時に成り立つことと同値である。

$$ \begin{cases} t^2 + t + 1 \leqq 3t^2 - 3kt + 3k^2 & \cdots \text{(C)} \\ 3t^2 - 3kt + 3k^2 \leqq 9t^2 + 9t + 9 & \cdots \text{(D)} \end{cases} $$

(i) 不等式 (C) について

$$ 2t^2 - (3k + 1)t + 3k^2 - 1 \geqq 0 $$

これがすべての実数 $t$ で成り立つ条件は、判別式 $D_1 \leqq 0$ である。

$$ D_1 = (3k + 1)^2 - 8(3k^2 - 1) \leqq 0 $$

$$ 9k^2 + 6k + 1 - 24k^2 + 8 \leqq 0 $$

$$ -15k^2 + 6k + 9 \leqq 0 $$

$$ 5k^2 - 2k - 3 \geqq 0 $$

$$ (5k + 3)(k - 1) \geqq 0 $$

よって、

$$ k \leqq -\frac{3}{5}, \quad 1 \leqq k \quad \cdots \text{(3)} $$

(ii) 不等式 (D) について

$$ 6t^2 + 3(k + 3)t + 9 - 3k^2 \geqq 0 $$

$$ 2t^2 + (k + 3)t + 3 - k^2 \geqq 0 $$

これがすべての実数 $t$ で成り立つ条件は、判別式 $D_2 \leqq 0$ である。

$$ D_2 = (k + 3)^2 - 8(3 - k^2) \leqq 0 $$

$$ k^2 + 6k + 9 - 24 + 8k^2 \leqq 0 $$

$$ 9k^2 + 6k - 15 \leqq 0 $$

$$ 3k^2 + 2k - 5 \leqq 0 $$

$$ (3k + 5)(k - 1) \leqq 0 $$

よって、

$$ -\frac{5}{3} \leqq k \leqq 1 \quad \cdots \text{(4)} $$

(iii) 共通範囲の計算

(3) と (4) の共通範囲を求めて $k$ を元に戻す。

$$ -\frac{5}{3} \leqq k \leqq -\frac{3}{5}, \quad k = 1 $$

したがって、

$$ -\frac{5}{3} \leqq \frac{a}{b} \leqq -\frac{3}{5}, \quad \frac{a}{b} = 1 $$

解説

「すべての実数 $x$ に対して成り立つ」という条件（絶対不等式）を扱う典型問題である。分母が常に正であることを示してから分母を払い、すべての実数で成り立つ2次不等式の条件（判別式 $D \leqq 0$）に帰着させる手順は確実に押さえておきたい。

解法1のようにそのまま計算を進めてもよいが、式全体が $x, a, b$ についての同次式の構造になっていることに着目すると、解法2のように $x = bt$ と置換することで変数の数を減らすことができる。これにより、$a$ と $b$ の2文字を扱いながら最後に $\frac{a}{b}$ の形を作り出す手間が省け、計算見通しが良くなる。また、最後に不等式の共通範囲をとる際、$1$ が孤立した解として残る点に注意が必要である。